Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica e álgebra linear.
O vetor normal de um plano [tex]\pi[/tex] que passa pelos pontos [tex]A,~B[/tex] e [tex]C[/tex] é calculado pelo produto vetorial dos vetores diretores dos segmentos de reta [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{AC}[/tex].
Estes vetores podem ser calculados por meio da fórmula: [tex]\overrightarrow{AB}=B-A[/tex] e [tex]\overrightarrow{AC}=C-A[/tex].
Dados os pontos [tex]A=(1,~1,~1),~B=(2,~1,~1)[/tex] e [tex]C=(1,\,-1,~3)[/tex], calculamos os vetores [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] e [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]:
[tex]\overrightarrow{AB}=(2,~1,~1)-(1,~1,~1)=(2-1,~1-1,~1-1)=(1,~0,~0)\\\\\\ \overrightarrow{AC}=(1,\,-1,~3)-(1,~1,~1)=(0,\,-2,~2)[/tex]
O produto vetorial de dois vetores [tex]\vec{u}=\langle{u_1,~u_2,~u_3\rangle[/tex] e [tex]\vec{v}=\langle{v_1,~v_2,~v_3\rangle[/tex] é calculado por meio do determinante: [tex]\vec{u}\times\vec{v}=\vmatrix{\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2)\hat{i}-(u_1v_3-u_3v_1)\hat{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\hat{k}[/tex], onde [tex]\hat{i}=\langle1,~0,~0\rangle,~\hat{j}=\langle0,~1,~0\rangle[/tex] e [tex]\hat{k}=\langle0,~0,~1\rangle[/tex] são os vetores geradores dos pontos em [tex]\mathbb{E}^3[/tex].
Substituindo as componentes dos vetores [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] e [tex]\overrightarrow{AC}[/tex], temos:
[tex]\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\vec{n}=(0\cdot 2-0\cdot (-2))\hat{i}-(1\cdot2-0\cdot 0)\hat{j}+(1\cdot(-2)-0\cdot0)\hat{k}\\\\\\ \vec{n}=\langle0,\,-2,\,-2\rangle[/tex]
Este vetor pode ser reescrito como [tex]\vec{n}=\langle0,~1,~1\rangle[/tex], ao dividir o vetor por um fator [tex](-2)[/tex], pois qualquer vetor paralelo ao vetor normal de um plano é também normal a este plano.
Por fim, a equação de uma reta que passa por um ponto [tex]A=(A_1,~A_2,~A_3)[/tex] e é paralela a um vetor [tex]\vec{u}=\langle{u_1,~u_2,~u_3\rangle[/tex] tem equação vetorial: [tex]\vec{r}=A+\lambda\cdot \vec{u}[/tex] e equação paramétrica: [tex]\begin{cases}x=A_1+\lambda\cdot u_1\\y=A_2+\lambda\cdot u_2\\z=A_3+\lambda\cdot u_3\\\end{cases}[/tex] .
Substituindo as coordenadas do ponto [tex](1,\,-2,~3)[/tex] e o vetor normal que calculamos, teremos:
A equação vetorial da reta:
[tex]\boxed{\vec{r}=(1,\,-2,~3)+\lambda\cdot(0,~1,~1)}[/tex]
A equação paramétrica da reta:
[tex]\boxed{\begin{cases}x=1\\y=-2+\lambda\\z=3+\lambda\\\end{cases}}[/tex]
