Resposta:
O raio do círculo é [tex]3*\sqrt{5} [/tex] cm, a alternativa correta é a b).
Explicação passo a passo:
Se a corda AB é dividida na razão 2:3 e seu comprimento total é de 5*raiz(6), então observamos facilmente que os comprimentos dos segmentos AP e PB são 2*raiz(6) e 3*raiz(6).
Consideremos os dois triângulos OAP e OBP conforme a figura.
Aplicando a lei dos cossenos aos triângulos OAP e OBP, obtemos:
Para o triângulo OAP:
R^2 = 4*6 + 3^2 - 2*2*[tex]\sqrt{6} [/tex]*3*cos α
=> R^2 = 33 - 12*[tex]\sqrt{6} [/tex] * cos α (1)
Para o triângulo OBP:
R^2 = 9*6 + 9 - 6*[tex]\sqrt{6} [/tex]*3*cos π - α
mas cos π - α = - cos α, então:
R^2 = 63 - 18*[tex]\sqrt{6} [/tex]* - cos α
=> R^2 = 63 + 18*[tex]\sqrt{6} [/tex]*cos α (2)
Igualando os lados direitos das equações (1) e (2):
33 - 12*[tex]\sqrt{6} [/tex]*cos α= 63 + 18*[tex]\sqrt{6} [/tex]*cos α
=> 30*[tex]\sqrt{6} [/tex]*cos α= - 30
=> cos α = -1/[tex]\sqrt{6} [/tex] = -[tex]\sqrt{6} [/tex]/6
Substituindo o valor de cos α na equação (1) obtemos R:
R^2 = 33 - 12*[tex]\sqrt{6} [/tex]*-[tex]\sqrt{6} [/tex]/6
=> R^2 = 33 + 12
=> R^2 = 45
=> R = [tex]\sqrt{45} [/tex] = 3*[tex]\sqrt{5} [/tex]
Portanto R = 3*[tex]\sqrt{5} [/tex] cm.
