Questão 1: Temos a seguinte expressão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \sf 5.( sen(y)) - x {}^{3} y = 2[/tex]
Para derivar esta expressão, vamos utilizar a derivação implícita, onde y é uma função de x. Primeiro derivamos todos os termos:
[tex] \sf \frac{d}{dx} (5. sen(y)) - \frac{d}{dx}( x {}^{3} y) = \frac{d}{dx}(2) \\ [/tex]
Como sabemos, a derivada de uma constante é 0 e a derivada de uma constante multiplicada por uma função é basicamente a constante vezes a derivada desta função, matematicamente:
[tex] \sf \frac{d}{dx} [ k \: . \: f(x) ] =k \: . \: \frac{d}{dx}(f(x)) \: \: e \: \: \underbrace{\frac{d}{dx}(a) } _{a \to \: constante}= 0 \\ [/tex]
Aplicando esta informação temos:
[tex] \: \: \: \sf 5. \frac{d}{dx} ( sen(y)) - \frac{d}{dx} ( {x}^{3} y) = 0 \\ [/tex]
A derivada do produto de duas funções é dada pela seguinte relação:
[tex] \sf \frac{d}{dx} [f(x) \: . \: g(x)] = \frac{d}{dx} (f(x)).g(x) + f(x). \frac{d}{dx} (g(x)) \\ [/tex]
Aplicando esta informação na expressão:
[tex]\sf 5. \frac{d}{dx}(sen(y)) - \left [ \frac{d}{dx} (x {}^{3} ).y + x {}^{3}. \frac{d}{dx} (y) \right] \\ [/tex]
Neste momento é basicamente aplicar as regras de derivação, principalmente a regra do monômio e da cadeia:
[tex]\sf 5. cos(y) . \frac{dy}{dx} - 3x {}^{2} .y - x {}^{3} . \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ \sf 5.cos(y). \frac{dy}{dx} - x {}^{3} .\frac{dy}{dx} = 3x {}^{2} y \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} . [5cos(y) - x {}^{3} ] = 3x {}^{2}y \\ \\ \boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{2}y }{5cos(y) - x {}^{3} } }[/tex]
Resposta: Letra c)
Questão 2: Temos a seguinte expressão:
[tex] \: \sf y = 5 {}^{3 + sen(x)} \\ [/tex]
Para encontrar a derivada desta expressão, devemos lembrar que a derivada de uma função cuja a base é uma constante, é dada por:
[tex] \sf y = a {}^{x} \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = a {}^{x} . \ln(a) \\ [/tex]
Aplicando isto na expressão, temos:
[tex] \sf y = {5}^{3 + sen(x)} \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = 5 {}^{3 + sen(x)} \: . \: \ln(5) \: . \frac{d}{dx}(3 + sen(x)) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} =5 {}^{3 + sen(x)} .ln(5). (0 + cos(x)) \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} =5 {}^{3 + sen(x)} .ln(5). cos(x)}[/tex]
Resposta: Letra e) Nenhuma das alternativas.
