Para resolver esta questão, devemos primeiro organizar as informações dadas dentro de um gráfico. (Anexei o gráfico juntamente a resposta).
Tendo organizado estas informações, podemos iniciar os cálculos. Inicialmente devemos encontrar a equação da reta "r" informada, para isso podemos utilizar os pontos A e C para formular uma equação, pois como é sabido, dois pontos são mais que necessários para montar uma reta. Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular desta reta através da fórmula abaixo:
[tex] \: \: \: \: \sf m_r = \frac{\Delta y}{\Delta x} \: \to \: m_r = \frac{y_c- y_a}{x_c - x_a} \\ [/tex]
Substituindo os dados dos pontos na fórmula:
[tex] \: \: \: \: \: \: \sf A(x,y) \: \: e \: \: C(0,4) \: \ \: \\ \\ \sf m_r = \frac{4 - y}{0 - x} \: \to \: m_r = \frac{4 - y}{ - x} \\ [/tex]
Outra informação que pode ser extraída é o coeficiente (m) da reta r, já que sabemos que a reta y = x é perpendicular a reta "r". Como sabemos, existe uma propriedade que nos diz que "O coeficiente angular de retas perpendiculares é dado pelo inverso do oposto uma da outra", matematicamente tem-se:
[tex] \: \: \sf m_s = - \frac{1}{m_r} \: \: ou \: \: m_r= - \frac{1}{m_s}\\ [/tex]
O coeficiente da reta y = x é dado pelo coeficiente que fica afrente da incógnita x, ou seja, neste caso o coeficiente é igual a 1. Substituindo a informação na relação:
[tex] \: \: \: \: \: \: \sf m_r = - \frac{ 1}{1} \: \to \: m_r = - 1 \\ [/tex]
Portanto, o coeficiente angular da reta "r" é igual a -1. Substituindo esta informação na equação do coeficiente angular, temos que:
[tex] \sf m = \frac{ 4 - y}{ - x} \: \to \: - 1 = \frac{4 - y}{ - x} \\ \\ \sf - 1. ( - x) = 4 - y \: \: \to \: \: x = 4 - y \\ \\ \boxed{ \underbrace{\sf y = 4 - x} _{ \sf reta \: r} }[/tex]
Portanto essa é a equação da reta r. Agora devemos encontrar numericamente os valores dos pontos A e C. Primeiramente vamos encontrar o valor do ponto A, já que é basicamente a interseção entre a reta r: y = 4 - x e a reta y = x. Interseção quer dizer onde elas se encontram, ou seja, onde elas são iguais, por este motivo basta igualar as equações:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \underbrace{y = x \: \: e \: \: y = 4 - x} _ { \sf igualando} \\ \\ \sf x = 4 - x \: \to \: \: 2x = 4 \: \: \to \: \: x = 2 \\ \sf y = 4 - x \: \to \: y = 4 - 2 \: \to \: y = 2[/tex]
Portanto, o valor do ponto é A(2,2).
Por fim, devemos encontrar o valor do ponto B, que é bem básico, pelo motivo de que ele é um ponto que toca apenas o eixo "x", ou seja, o valor de "y" é 0 e também este ponto faz parte da reta "r", portanto, podemos utilizar esta informação de que quando x é um valor qualquer, y é igual a 0:
[tex] \sf y = 4 - x \: \to \: \: 0 = 4 - x \: \to \: x = 4[/tex]
Concluí-se então B é dado por B(4,0).
Para finalizar a questão, basta utilizar a relação da área através do determinante:
[tex] \sf A = \frac{|D|}{2} \: \: \to \: \: A = \frac{ \left| \begin{pmatrix} \sf x_b& \sf y_b& \sf1 \\ \sf x_a& \sf y_a& \sf 1 \\ \sf x_o& \sf y_o& \sf1 \end{pmatrix} \right| }{2} \\ [/tex]
Substituindo os dados na relação:
[tex] \sf A = \frac{ \left| \begin{pmatrix} \sf 2& \sf 2& \sf1 \\ \sf 4& \sf 0& \sf 1 \\ \sf 0& \sf 0& \sf1 \end{pmatrix} \right| }{2} \: \: \to \: \: \sf A = \frac{8}{2} \\ \\ \sf \boxed{\sf A = 4 \: u.a}[/tex]
