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Sagot :
Resposta:
[tex]\int\limits^4_0 {\sqrt{2x+1} } \, dx \\\\u = 2x +1\\du/dx = d2x/dx + d1/dx\\du/dx = 2 + 0\\du/dx= 2\\dx = du/2\\\\\int\limits^9_1 {\sqrt{u} } \, du/2[/tex]
Portanto a função de x é substituída por função de u e os limites de integração, agora é só resolver a integral.
Desejamos calcular a seguinte integral definida:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx\end{gathered}$}[/tex]
Pelo que eu percebi, você está com um pouco de dúvidas na parte das substituições. então tentarei explicar da minha forma... O método da substituição consiste em transformar uma integral em outra mais simples, no caso da sua integral, podemos chamar 2x+1 de u, e com isso, teremos que mudar dx pois estaremos integrando em u, e para isso basta derivarmos u. Veja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 2x+1=u \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt du=(2x+1)'dx \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt du=2dx \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \frac{du}{2} =dx \end{gathered}$}[/tex]
- Com isso, temos que aquela integral sua se transforma na seguinte integral:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \int _0^4 \sqrt{u}\ \frac{du}{2} \end{gathered}$}[/tex]
E pela lineariedade:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{2}\cdot \int _0^4 u^{\frac{1}{2}} \ du \end{gathered}$}[/tex]
Agora, vale ressaltar a propriedade de integração do monômio, dada da seguinte forma:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq -1\end{gathered}$}[/tex]
Aplicando naquela integral, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{2}\cdot \left.\left( \frac{u^{\frac{3}{2}} }{\frac{3}{2} } \right)\right|_0^4 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{1}{\diagup\!\!\!2}\cdot \left.\left( \frac{\diagup\!\!\!2\sqrt{(2x+1)^{3}} }{3} \right)\right|_0^4 \end{gathered}$}[/tex]
Aplicamos então por fim o teorema fundamental do cálculo.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{\sqrt{(2\cdot 4 +1)^{3}} }{3} -\frac{\sqrt{(2\cdot 0 +1)^{3}} }{3} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{\sqrt{(9)^{3}} }{3} -\frac{\sqrt{(1)^{3}} }{3} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\tt \int_0^4\sqrt{2x+1}\ dx= \frac{26 }{3}}}} \end{gathered}$}[/tex]
⇒ Espero que tenha entendido, qualquer dúvida respondo nos chats.
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