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Sagot :
Resposta:
[tex]\int x\ln(x)dx = \frac{x^2(2\ln(x) + 1)}{4} + C[/tex]
Explicação passo a passo:
Bom, vamos relembrar que a integral por partes é dada por
[tex]\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx[/tex]
Como queremos resolver [tex]\int x\ln(x)dx[/tex] por partes, vamos chamar x = f'(x) e ln(x) = g(x), assim temos que
[tex]f'(x) = x \Rightarrow f(x) = \frac{x^2}{2}[/tex] e [tex]g(x) = \ln(x) \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}[/tex]
Portanto
[tex]\int x\ln(x)dx = \frac{x^2\ln(x)}{2} - \int\frac{x^2}{2x}dx = \frac{x^2\ln(x)}{2} - \frac{1}{2}\int xdx = \frac{x^2\ln(x)}{2} -\frac{x^2}{4} + C[/tex]
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