✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as retas:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:concorrentes\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as equações:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r_{1} : \frac{x -3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z - 2}{4} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r_{2} = \Large\begin{cases} x = -1\\
y = 4 - t\\
z = -8 + 3t\end{cases} \end{gathered}$}[/tex]
Convertendo a equação de "r1" para a sua forma paramétrica, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r_{1}: \Large\begin{cases} x = 3 + 2\lambda\\
y = -1 - 3\lambda\\
z = 2 + 4\lambda\end{cases} \end{gathered}$}[/tex]
Para sabermos se as retas são concorrentes, devemos verificar se os parâmetros "t" são iguais. Caso positivo, as retas são concorrentes. Caso contrário, não são concorrentes. Para isso, devemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:
[tex]\Large\begin{cases} -1 = 3 + 2\lambda\\
4 - t = -1 - 3\lambda\\
-8 + 3t = 2 + 4\lambda\end{cases}[/tex]
Isolando "λ" na 1ª equação, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -1 = 3 + 2\lambda \Longrightarrow\lambda = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo o valor de "λ" na 2ª equação encontraremos o valor do "t":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 4 - t' = -1 - 3\cdot(-2)\Longrightarrow t' = -1 \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo o valor de "" na 3ª equação temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -8 + 3t'' = 2 + 4\cdot(-2)\Longrightarrow t'' = \frac{2}{3} \end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t'\ne t''\end{gathered}$}[/tex]
Então as retas:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:concorrentes \end{gathered}$}[/tex]
Se elas não são concorrentes então elas podem ser ou paralelas ou reversas.
Para verificar se elas são paralelas devemos verificar se o produto escalar dos vetores diretores das retas é igual ao produto dos módulos dos vetores. Caso positivo, as retas são paralelas. Caso contrário não são paralelas. Então se os vetores diretores das retas são:
[tex]\Large\begin{cases} r_{1} \Longrightarrow \vec{u} = (2, -3, 4)\\
r_{2} \Longrightarrow\vec{v} = (0, -1, 3)\end{cases}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v\|} \end{gathered}$}[/tex]
Calculando o produto escalar dos vetores, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot0 + (-3)\cdot(-1) + 4\cdot3 = 15 \end{gathered}$}[/tex]
Calculando o produto dos módulos dos vetores diretores:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| = \sqrt{0^{2} + (-1)^{2} + 3^{2}}\cdot\sqrt{2^{2} + (-3)^{2} + 4^{2}} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{0 + 1 + 9}\cdot\sqrt{4 + 9 + 16}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{10}\cdot\sqrt{29}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{290}\end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\ne\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\| \end{gathered}$}[/tex]
então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\nparallel\vec{v} \end{gathered}$}[/tex]
Portanto, as retas:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:paralelas \end{gathered}$}[/tex]
Neste caso, as retas são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Reversas\end{gathered}$}[/tex]
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