Resposta:
(e^x+e^-x)dy/dx=y²
y⁻² dy = 1/(eˣ +e⁻ˣ) dx
∫y⁻² dy = ∫ 1/(eˣ +e⁻ˣ) dx
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∫y⁻² dy =y^(-2+1)/ (-2+1) + c
=y⁻¹/(-1) + c
= -1/y + c
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∫ 1/(eˣ +e⁻ˣ) dx
∫ 1/(eˣ +1/eˣ) dx
∫ eˣ/(e²ˣ +1) dx
fazendo u = eˣ ==> du= eˣ dx
∫ eˣ/(u² +1) du/eˣ
∫ 1/(u² +1) du
fazendo u=tan(β) ==>du=sec²(β) dβ
∫sec²(β)/(tan²β) +1) dβ
### sen²(β) +cos²(β) = 1
### sen²(β)/cos²(β) +cos²(β) /cos²(β) = 1/cos²(β)
### tan²(β) +1 = sec²(β)
∫sec²(β)/sec²(β) dβ
∫ dβ = β + C
Sabemos que u=tan(β) ==> β =arctan(u) , então temos:
∫ 1/(u² +1) du = arctan(u) + c
Sabemos que u = eˣ , então temos:
∫ eˣ/(e²ˣ +1) dx = arctan(eˣ) + c
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-1/y + c' = arctan(eˣ) + c '' ...fazendo c''-c'= k é uma const.
-1/y = arctan(eˣ) + k
y = -1/(arctan(eˣ) + k)
