Sagot :
Resposta:
[tex]b.\ \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = 0[/tex]
Explicação passo a passo:
B) Se tentarmos substituir o limite sem fazer nenhuma manipulação matemática com a expressão [tex]x - \sqrt{x^{2} + 1}[/tex], teremos:
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \infty - \sqrt{\infty^{2} + 1} = + \infty - \infty[/tex]
Porém, "+ infinito - infinito" é uma indeterminação.
Por isso, precisamos fazer o que chamamos de "manipulações algébricas".
Tais manipulações consistem em tentar mudar a expressão dentro do limite sem alterá-la. Por exemplo, podemos multiplicar [tex]x - \sqrt{x^{2} + 1}[/tex] por [tex]1[/tex] e não haverá nenhuma alteração, não é mesmo?
Então, temos que achar uma expressão conveniente que também resulte em 1 para substituí-la nessa nossa multiplicação. Funciona assim:
[tex]x - \sqrt{x^{2} + 1} * 1 = x - \sqrt{x^{2} + 1} \ (mudou \ nada)\\x - \sqrt{x^{2} + 1} * \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = x - \sqrt{x^{2} + 1} * 1 = x - \sqrt{x^{2} + 1}[/tex]
Mas por quê foi escolhida essa expressão? Porque com ela conseguimos retirar a indeterminação do limite. Confira:
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1} * \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} ( \frac{x - \sqrt{x^{2} + 1} \ * \ x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} )\\\\Sabendo \ que: \ (a-b)\ *\ (a+b) = a^{2} - b^{2}, \ temos \ para \ a = x \ e \ b = \sqrt{x^{2}+1}:\\\\[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - (\sqrt{x^{2}+1} )^{2}\\}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - ({x^{2}+1})\\}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}})[/tex]
Para retirar a indeterminação do denominador, podemos dividi-lo por x (que é o mesmo que multiplicá-lo por 1/x). Mas devemos fazer isso no numerador também.
Além disso, devemos lembrar que para 1/x "entrar" dentro da raiz quadrada, ele deve ser elevado ao quadrado. Ou seja, o 1/x "entra" na raiz como "1/x²". Fica assim:
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{1}{x} \ * \ -1 }{\frac{1}{x} \ * \ (x+ \sqrt{x^{2}+1})})\\\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{-1}{x}}{1 + \sqrt{(x^{2}+1) \ * \ \frac{1}{x^{2}}} })[/tex]
Como: [tex]\sqrt{(x^{2}+1) \ * \ \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}[/tex], então:
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{-1}{x}}{1 + \sqrt{1+ \frac{1}{x^{2}}} })[/tex]
Agora, aplicando o limite, temos:
[tex]\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{\frac{-1}{\infty}}{1 + \sqrt{1+ \frac{1}{\infty^{2}}} } = \frac{0}{1+ \sqrt{1+0}} = \frac{0}{1+1} = 0[/tex]
C) Para resolver esse limite, é necessário usar a regra de L'Hopital, que consiste em derivar o numerador e o denominador. Fica assim:
[tex]\lim_{x \to 0} (\frac{3x^{2}}{tan(x) \ * \ sin(x)} ) = \lim_{x \to 0} (\frac{\frac{d}{dx} (3x^{2} )}{ \frac {d}{dx} (tan(x)*sin(x)) })[/tex]
O numerador fica: [tex]\frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x[/tex]
Para o denominador, devemos lembrar que a tangente de x é igual a seno de x dividido por cosseno de x. Assim:
[tex]tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}[/tex]
Logo: [tex]tan(x)*sin(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \ * \ sin(x) = \frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}[/tex]
Para derivar essa divisão, em que o numerador é sin(x)² e o denominador é cos(x), podemos usar a regra:
(derivada do numerador vezes o denominador - numerador vezes derivada do denominador) dividido pelo numerador ao quadrado. Assim:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{ \frac{d}{dx}(sin(x)^{2}) \ * \ cos(x) - sin(x)^{2} \ * \ \frac{d}{dx}(cos(x)) }{ cos(x)^{2} }[/tex]
Podemos derivar seno de x ao quadrado derivando a função "de fora" e multiplicando pela "função de dentro", o que resulta em 2 vezes sin(x) vezes cos(x). E a derivada do cos(x) é -sin(x).
Portanto:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{ \frac{d}{dx}(sin(x)^{2}) \ * \ cos(x) - sin(x)^{2} \ * \ \frac{d}{dx}(cos(x)) }{ cos(x)^{2} }\\\\\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{2 \ * \ sin(x) \ * \ cos(x) \ * \ cos(x) - \ sin(x)^{2} \ * \ (- sin(x)) } { cos(x)^{2} }[/tex]
Lembrando que 2 vezes seno de x vezes cosseno de x é igual a 2 vezes seno de 2x. Então:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{2 \ * \ sin(2x) \ * \ cos(x) + \ sin(x)^{3}} { cos(x)^{2} }[/tex]
Se aplicarmos a regra de L'Hopital novamente, ficaremos com:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{sin(x)^{2}}{cos(x)}) = \frac{\frac{d}{dx}(2 \ * \ sin(2x) \ * \ cos(x) + \ sin(x)^{3})} { \frac{d}{dx}cos(x)^{2} }[/tex]
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