marcos5993
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Determinar a equação vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A(1,-1,2) e B(2,1,0)​

Sagot :

marciocbe

Resposta:

Olá bom dia!

Equação vetorial:

Primeiro devemos determinar um vetor "V" , denominado de vetor diretor, que determina sentido dos pontos A e B. Então:

V = B - A

V = (2 , 1 , 0) - (1 , -1 , 2)

V = (2 - 1 , 1-(-1) , 0 - 2)

V = (1 , 1+1 , -2)

V = (1 , 2 , -2)

Equação vetorial:

(x , y , z) = (1 , -1 , 2) + w(1 , 2 , -2)

Equação Paramétrica:

x = 1 + w

y = -1 + 2w

z = 2 - 2w

Equação simétrica

Devemos colocar as equações paramétricas em função de "w"

w = x - 1

w = (y + 1) / 2

w = (2 - z) / 2

Ou seja:

x - 1 = (y + 1) /2 = (2 - z) / 2

(x , y , z) = (1 , -1 , 2)

solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as equações vetorial, paramétricas e simétrica da referida reta são, respectivamente:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

                 [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: \Large\begin{cases}\bf x = 1 + \lambda\\ \bf y = -1 + 2\lambda\\ \bf z = 2 - 2\lambda\end{cases}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

           [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: x - 1 = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-2} \:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

Sejam os pontos:

        [tex]\Large\begin{cases} A = (1, -1, 2)\\ B = (2, 1, 0)\end{cases}[/tex]

Para encontrar a equação vetorial da reta "r" devemos:

  • Deduzir a equação vetorial da reta "r":

        Para isso fazemos:

                 [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]

           [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}P - A = \lambda\vec{v} \end{gathered}$}[/tex]

                     [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R},\:\:\:e\:\:\:\vec{v}\ne\vec{0}\end{gathered}$}[/tex]

         Se:

                      [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{v} = \overrightarrow{AB} \end{gathered}$}[/tex]

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = B - A\end{gathered}$}[/tex]

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2, 1, 0) - (1, -1, 2)\end{gathered}$}[/tex]

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2 - 1, 1 + 1, 0 - 2)\end{gathered}$}[/tex]

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1, 2, -2)\end{gathered}$}[/tex]

                      [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (1, 2, -2) \end{gathered}$}[/tex]

           Então:

                     [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = A + \lambda\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]

         [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\end{gathered}$}[/tex]

         Portanto, a equação vetorial da reta "r" é:

                [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r: (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\end{gathered}$}[/tex]

  • Obter as equações paramétricas:

       Para isso fazemos:

                [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r: \Large\begin{cases} x = 1 + \lambda\\ y = -1 + 2\lambda\\ z = 2 - 2\lambda\end{cases} \end{gathered}$}[/tex]

  • Obter a equação simétrica:

        Para isso, isolamos cada um dos "λ" das equações paramétricas e depois, igualamos os mesmos, ou seja:

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lambda_{x} = \lambda_{y} = \lambda_{z}\end{gathered}$}[/tex]

           [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r: x - 1 = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-2} \end{gathered}$}[/tex]

                     

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Solução gráfica:

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