Resposta:
[tex]a) \sqrt[7]{a^{8}} = a\sqrt[7]{a}[/tex]
[tex]b) \sqrt[4]{x^{10}} = x^{2} \ * \ \sqrt{x}[/tex]
Explicação passo a passo:
A questão pede que cada radical seja simplificado retirando fatores do radicando.
Primeiramente, precisamos entender os termos destacados em negrito.
Radical: Na Matemática, radical é um nome que damos para uma expressão que envolve radiciação (também simplesmente chamada de raiz). Por exemplo, quando temos adição não chamamos a expressão de soma? Do mesmo jeito, quando temos radiciação, chamamos a expressão de raiz.
Radicando: É o número (ou a letra) que está dentro da raiz.
Fatores: São os números (expoentes) acima do radicando.
Após essa explicação. É importante entender uma das propriedades da potenciação. Por quê? Porque os radicandos (números ou letras que estão dentro da raiz) estão elevados a um número, ou seja, trata-se de uma potenciação dentro da raiz.
Uma das propriedades da potenciação diz que ao multiplicar dois números de mesma base (a base é o número que está embaixo) o resultado é igual à base elevada à soma dos expoentes. Por exemplo:
[tex]a^{4}*a^{3} = a^{7}, \ pois\ 4 + 3 = 7.[/tex]
Então, podemos concluir para a letra a) que:
[tex]a^{8} = a^{7}*a^{1}, \ pois\ 7 + 1 = 8.[/tex]
Assim, temos dentro da raiz:
[tex]\sqrt[7]{a^{8}} = \sqrt[7]{a^{7} \ * \ a^{1}}[/tex]
Por serem de mesma base ("a") e por se tratar de uma multiplicação, podemos separar os valores dentro da raiz:
[tex]\sqrt[7]{a^{8}} = \sqrt[7]{a^{7} \ * \ a^{1}} = \sqrt[7]{a^{7}} \ * \ \sqrt[7]{a^{1}}[/tex]
No primeiro termo, o índice ("7") e o expoente do radicando ("a") são iguais. Quando isso acontece, o resultado é apenas o radicando com índice 1, como se estivéssemos "cortando" a raiz:
[tex]\sqrt[7]{a^{8}} = a \ * \sqrt[7]{a^{1}}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{a^{8}} = a\sqrt[7]{a}[/tex]
E para a letra b):
[tex]\sqrt[4]{x^{10}} = \sqrt[4]{x^{4}*x^{6}} = \sqrt[4]{x^{4}*x^{4}*x^{2}} = x* x*\sqrt[4]{x^{2}}[/tex]
[tex]\sqrt[4]{x^{10}} = x^{2} \ * \ \sqrt[4]{x^{2}}[/tex]
Também é possível simplificar o índice da raiz com o expoente do radicando, dividindo ambos por 2:
[tex]\sqrt[4]{x^{10}} = x^{2} \ * \ \sqrt[2]{x}[/tex]
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