Resposta:
1 ) 2√5 2 ) 59 º 3) 19 - 4√5
Explicação passo a passo:
Dados:
Vetores nos espaço
a = ( 3 , 2 , 0 )
b = ( 0 , √5 , 1 )
Resolução:
1 )
Produto interno ( escalar ) dos vetores "a" e " b "
a . b = ( 3 , 2 , 0 ) . ( 0 , √5 , 1 )
= 3 * 0 + 2 * √5 + 0 * 1
= 2√5
2 )
Para calcular a amplitude do ângulo formado pelos vetores usarei a fórmula:
[tex]cos..angulo..(a b )=\dfrac{a.b}{||a||^2*||b||^2}[/tex]
Cálculos auxiliares:
[tex]||a||=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{9+4} =\sqrt{13}[/tex]
[tex]||b||=\sqrt{0^2+(\sqrt{5})^2+1^2 } =\sqrt{5+1} =\sqrt{6}[/tex]
Fim de cálculos auxiliares
[tex]cos..angulo..(a e b )=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{13}*\sqrt{6}}[/tex]
[tex]cos..angulo..(a e b )=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{13}*\sqrt{6} }=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{78} } =0.506[/tex]
[tex]arco...cujo...cos(0,506) = 59,6[/tex]
3 )
|| a - b ||² = ?
Início de cálculos
|| a - b ||² = ( a - b ) . (a - b) ( pela 2ª propriedade )
a. a - a . b - b . a + b . b
( Pela propriedade comutativa do Produto interno de vetores
- b . a = - a . b
Assim fica
|| a ||² - 2 a . b + || b ||²
Usando os valores atrás determinados
[tex](\sqrt{13})^2-2*(2*\sqrt{5})+(\sqrt{6} )^2[/tex]
[tex]=13-4*\sqrt{5}+6=19-4\sqrt{5}[/tex]
Fim de cálculos
Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores
1ª ) Propriedade comutativa
v . w = w . v
2ª) Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²
Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.
v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )
Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.
cos ( 0 º ) = 1
Logo
v . v = || v|| * || v || * 1
v . v = || v|| * || v ||
v . v = || v||²
3ª) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )
u . ( v + w ) = u . v + u . w
4ª) Propriedade associativa
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5ª) Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K
|kv| = |k| |v|
6ª) |u.v| ≤ |u| |v| ( desigualdade de Schwarz )
7ª) |u+v| ≤ |u| + |v| ( desigualdade triangular)
Bons estudos.
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( . ) produto interno de vetores ( * ) multiplicação ( / ) divisão
|| || norma de um vetor
