Resposta:
[tex]vetor...a = (-\dfrac{36}{7} ;+\dfrac{24}{7} ;-\dfrac{72}{7} )[/tex]
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Vetores colineares
Para que um vetor " u " seja colinear com outro vetor " v" é preciso que se
verifique a seguinte relação:
Exista um K ∈ { |R | k ≠ 0 } de modo a que vetor u = K * vetor v
Sendo k uma constante real , mas diferente de zero.
Exemplo:
vetor ( 1 ; 7 ; 8 ) é colinear com vetor ( 2 ; 14 ; 16 )
[tex](2,14,16) = K*(1,7,8)[/tex]
[tex](2,14,16) = (k_{1} *1,k_{2} *7,k_{3} *8)[/tex] ( 1 )
Termos que provar que
[tex]k_{1} =k_{2}=k_{3}[/tex]
Pegando na igualdade ( 1 ), dois vetores são iguais quando têm as respetivas coordenadas iguais.
Vamos montar um sistema de três equações
{ [tex]2 =k_{1}*1[/tex]
{ [tex]14=k_{2} *7[/tex]
{ [tex]16 =k_{3} *8[/tex]
⇔
{ [tex]\dfrac{2}{1} =k_{1}[/tex] ⇔ [tex]k_{1} =2[/tex]
{ [tex]\dfrac{14}{7} =k_{2}[/tex] ⇔ [tex]k_{2} =2[/tex]
{ [tex]\dfrac{16}{8} =k_{3}[/tex] ⇔ [tex]k_{3} =2[/tex]
Então sendo :
[tex]k_{1} =k_{2} =k_{3}[/tex]
Isto significa que existe um valor para o k, que é o 2 , que transforma
o vetor vetor ( 1 ; 7 ; 8 ) no vetor ( 2 ; 14 ; 16 ).
São pois colineares
Aplicando ao problema aqui
Sendo vetor "a" = ( x ; y ; z ) para ser colinear com "vetor b" = (3 ; - 2 ; 6 )
[tex](3;-2;6)= k*(x;y;z)[/tex]
ou
[tex](3;-2;6)= (k*x;k*y;k*z)[/tex]
[tex]vetor...a= (k*x;k*y;k*z)[/tex]
Mas sabemos que o vetor "a" tem norma = 12 , vamos usar a definição e
Norma de um Vetor
[tex]|| c || =\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/tex]
Isto sendo "vetor c " um vetor qualquer
Neste caso, como se sabe que são colineares, temos a certeza que existe um "k" que torna colineares estes vetores " a" e "b"
vetor a = k * ( 3 ; - 2 ; 6 )
vetor a = (k*3 ; k*(- 2) ; k* 6 )
[tex]||a||= 12[/tex]
[tex]12 = \sqrt{(3k)^2+(-2k)^2+(6k)^2}[/tex]
[tex]12 = \sqrt{9k^2+4k^2+36k^2}[/tex]
[tex]12 = \sqrt{49k^2}[/tex]
Tendo em conta que a raiz quadrada de um valor dá origem a dois valores simétricos ( opostos )
7k = 12 ou 7k = -12
k = 12/7 ou k = - 12/7
Vamos escolher k = - 12/7 para satisfazer a condição de a terceira
coordenada do vetor "a" ser negativa.
[tex]vetor...a = -\dfrac{12}{7} *(3;-2;6)[/tex]
[tex]vetor...a = (3*(-\dfrac{12}{7} ;-2*(-\dfrac{12}{7} ;6*(-\dfrac{12}{7} ))[/tex]
[tex]vetor...a = (-\dfrac{36}{7} ;+\dfrac{24}{7} ;-\dfrac{72}{7} )[/tex]
Temos satisfeitas as duas condições:
Vetor "a" colinear com vetor "b" e terceira coordenada de vetor "a" ser
negativa ( - 72/7 ).
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( / ) divisão || || norma de um vetor
( | ) tal que ( ∈ ) pertence a ( |R ) conjunto números reais
( ≠ ) diferente de