Resposta:
Vetor MN e vetor AB são colineares
Explicação passo a passo:
Resolução :
O ponto Médio de um segmento de reta, com pontos extremos genéricos:
[tex]A = ( x_{a} ;y_{a} ;z_{a} )[/tex]
[tex]B=(x_{b} ;y_{b};z_{b} )[/tex]
é dado pela seguinte fórmula:
[tex]Ponto... Medio...AB = ( \dfrac{x_{a}+x_{b} }{2} ;\dfrac{y_{a}+y_{b} }{2} ;\dfrac{z_{a} +z_{b} }{2} )[/tex]
(Nota:
nesta fórmula falo de pontos médios de um segmento genérico.
Não é o ponto médio de nenhum segmento de reta deste exercício. )
Cálculo do ponto ( M ) médio de [ AC ]
[tex]Ponto... Medio...AC = ( \dfrac{1+(-3)}{2} ;\dfrac{1+3}{2} ;\dfrac{0+0}{2} )[/tex]
[tex]Ponto... Medio...AC = ( \dfrac{-2}{2} ;\dfrac{4}{2} ;\dfrac{0}{2} )[/tex]
[tex]Ponto... Medio...AC = ( -1 ;2;0 )[/tex]
Cálculo do ponto ( N ) médio de [ BC ]
[tex]Ponto... Medio...BC = ( \dfrac{3+(-3)}{2} ;\dfrac{-2+3}{2} ;\dfrac{1+0}{2} )[/tex]
[tex]Ponto... Medio...BC = ( 0;\dfrac{1}{2} ;\dfrac{1}{2} )[/tex]
Cálculo do vetor MN
vetor MN =N - M = ( 0; 1/2 ; 1/2 ) - ( - 1 ; 2 ; 0 ) = (0 - ( - 1 ) ; 1/2 - 2 ; 1/2 - 0 )
= ( 1 ; - 3/2 ; 1/2 )
Cálculo do vetor AB = B - A = ( 3 ; - 2 ; 1 ) - ( 1 ; 1 ; 0 ) = ( 3 - 1 ; - 2 - 1 ; 1 - 0 )
= ( 2 ; - 3 ; 1 )
Observação → Vetores colineares
Para que um vetor " u " seja colinear com outro vetor " v" é preciso que se
verifique a seguinte relação:
Exista um { K ∈ |R | k ≠ 0 } de modo a que vetor u = K * vetor v
Sendo k uma constante real , mas diferente de zero
Vetor MN = ( 1 ; - 3/2 ; 1/2 )
Vetor AB = ( 2 ; - 3 ; 1 )
Vetor AB = K * Vetor MN
( 2 ; - 3 ; 1 ) = k * ( 1; - 3/2 ; 1/2 )
( 2 ; - 3 ; 1 ) = ( k * 1 ; k * (- 3/2 ) ; k * ( 1/2 ) )
Para dois vetores serem iguais as suas coordenadas devem ser ,
respetivamente, iguais.
Assim vamos criar um sistema com 3 equações.
Está-se a atribuir notação diferente aos k, para no fim provar que, se forem
todos iguais, os vetores serão colineares.
[tex]2=k_{1}*1[/tex]
[tex]-3=k_{2} *(-\dfrac{3}{2} )[/tex]
[tex]1=k_{3} *\dfrac{1}{2}[/tex]
Resolvendo cada equação
[tex]k_{1}=2[/tex]
[tex]\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2} } =k_{2}[/tex]
[tex]k_{3} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} }[/tex]
⇔
[tex]k_{1}=2[/tex]
[tex]k_{2}=2[/tex]
[tex]k_{3}=2[/tex]
Então existe uma constante k = 2 de tal modo que os vetores AB e MN são colineares.
Para passar do vetor MN para vetor AB, basta multiplicar as coordenadas
do MN por 2.
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Cálculos auxiliares
[tex]\dfrac{1}{2} -2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2} =\dfrac{1-4}{2} =-\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2} } =-3 : (-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{3}{1} *(-\dfrac{2}{3} )=\dfrac{-3*(-2)}{3}=\dfrac{6}{3} =2[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} }=1 : \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{1} : \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{1} * \dfrac{2}{1}=\dfrac{1*2}{1*1} =2[/tex]
o inverso de 1/2 é igual a 2.
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( / ) divisão ( : ) divisão ( | ) tal que
( ≠ ) diferente de ( |R ) conjunto dos números reais
