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Dentre os cilindros circulares de área total 54πa², aquele de maior volume tem raio da base R e altura H. Qual o valor de H ÷ R ? Dica: dada uma função do tipo f(x) = mx – nx³, com m, n e x positivos, seu valor máximo ocorrerá quando m – 3nx² = 0. *

Sagot :

neochiai

Resposta:

O valor de H ÷ R é igual a 2.

Explicação passo a passo:

A área do cilindro é :

A = 2*pi * R^2 + 2*pi*R*H = 54*pi*a^2    (1)

E o volume é:

V = pi*R^2*H                                           (2)

Isolando H em (1):

2*pi*R*H = 54*pi*a^2 - 2*pi*R^2

=> pi*R*H = 27*pi*a^2 - pi*R^2

=> H = (27*pi*a^2 - pi*R^2) / pi*R

=> H = 27*a^2/R - R                                 (3)

Substituindo a equação (3) em (2):

V = pi*R^2*(27*a^2/R - R)

V = 27*pi*a^2*R - pi*R^3

O volume máximo ocorrerá quando a derivada primeira de V em R for igual a zero, então:

V' = 27*pi*a^2 - 3*pi*R^2 = 0

=> 3*pi*R^2 = 27*pi*a^2

=> R^2 = 9*a^2

=> R = 3*a

Substituindo esse valor de R em (3):

H = 27*a^2/R - R

H = 27*a^2/3*a - 3*a

H = 9*a - 3*a = 6*a

Portanto o valor de H ÷ R é igual a 6*a/3*a = 2.

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