O quociente entre área total do cone e seu volume é numericamente igual a 3.
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A planificação de um cone circular reto é composta de um setor circular, para a lateral, e um círculo para a base.
Para resolver a questão, algumas fórmulas vão nos ajudar:
Vamos encontrar primeiramente o raio da base. Como 120° é a terça parte de 360°, a circunferência do círculo que contém o setor circular é três vezes maior que a circunferência do círculo da base:
3(2πr) = 2πg
6πr = 2πg
3r = g
Usaremos agora a informação dada sobre a área lateral:
Área lateral = πrg
6π cm² = πrg
6 = rg
6 = 3r²
r² = 2
r = √2 e g = 3√2
Calculando agora a área total:
Área total = πr(g + r) = √2π(3√2 + √2) = 8π
Usando o teorema de Pitágoras para encontrar a altura:
g² = r² + h²
(3√2)² = (√2)² + h²
18 = 2 + h²
16 = h²
h = 4
Encontrando o volume:
Volume = πr²h/3 = π(√2)²4/3 = 8π/3
Por fim, fazendo a razão:
Área total/Volume = 8π/(8π/3) = 3
Logo, o quociente entre área total do cone e seu volume é numericamente igual a 3.
Até mais!
