A substituição trigonométrica consiste em substituir certas expressões por meio do uso de funções trigonométricas. Para este caso, ele nos pede para usar a substituição trigonométrica com a integral:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large \int \cfrac{dx}{x {}^{2} - 4} \\ [/tex]
Para usar a substituição trigonométrica, você deve encontrar o teorema de Pitágoras e as identidades trigonométricas básicas de um triângulo retângulo [imagem em anexo]
Como a integral não tem raiz, vamos tentar colocar uma expressão equivalente com uma raiz:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large \int \cfrac{dx}{\left(\sqrt{x {}^{2} - 4}\right)^2} \\ [/tex]
Como temos uma raiz em nossa integral, usamos as seguintes identidades trigonométricas:
[tex] \tt \large \dfrac{x}{2} = \sec \Theta \to x=2\sec \Theta [/tex]
[tex] \tt \large dx= 2\sec \Theta \cdot \tan \Theta d\Theta [/tex]
[tex] \tt \large \dfrac{\sqrt{x^2 -4}}{2}= \tan\Theta\to \sqrt{x^2-4} =2\tan \Theta [/tex]
- Substituindo no integral é necessário obter:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large \int \cfrac{2\sec \Theta \tan \Theta d\Theta }{\left(2\tan \Theta \right)^2} \\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large \int \cfrac{2\sec \Theta\cancel{ \tan \Theta} d\Theta }{4\cancel{ \tan^2 \Theta }} \\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large \int \cfrac{2\sec \Theta d\Theta }{4\tan \Theta } \\ [/tex]
Aplicamos identidades trigonométricas para simplificar a integral para algo mais simples:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{2}{4} \int \cfrac{\dfrac{1}{\cancel{\cos\Theta}} }{\dfrac{\sin\Theta}{\cancel{\cos \Theta}}}d\Theta \\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{2}{4} \int \cfrac{1}{\sin \Theta}d\Theta \\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2} \int \csc \Theta d\Theta \\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2} \ln\left| \csc\Theta -\cot \Theta \right|+C\\ [/tex]
A integral não foi resolvida para "x", mas apenas para "θ", portanto, usaremos as identidades trigonométricas de um triângulo retângulo:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2} \ln\left| \dfrac{x}{\sqrt{x^2 -4}} -\dfrac{2}{\sqrt{x^2-4}}\right|+C\\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2} \ln\left| \dfrac{x-2}{\sqrt{x^2 -4}} \right|+C\\ [/tex]
Aparentemente, resolvemos a integral, mas aqui está um tremendo desastre se você substituiu o valor de x por 0 no denominador, então vamos continuar simplificando para obter algo que não cause aquele erro enorme:
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2} \ln \dfrac{|x-2|}{|\sqrt{x^2 -4}|} +C\\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2}\left[ \ln|x-2| -\ln|\sqrt{x^2-2}|\right] +C[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad\large \tt \dfrac{1}{2}\left[ \ln|x-2| - \ln|x^2-2| ^{1/2}\right]+C\\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \tt \large\dfrac{1}{2}\left[ \ln|x-2| - \dfrac{1}{2} \ln|x^2 -4| \right]+C\\ [/tex]
[tex] \qquad \qquad \qquad \red{\boxed{\green{\boxed{\tt \blue{\large\dfrac{1}{2} \ln|x-2| - \dfrac{1}{4} \ln|x^2 -4| +C}}}}}\\ [/tex]
Essa seria a solução da integral se usarmos o método de substituição trigonométrica.
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