Resposta:
|| v || = √10
Explicação passo a passo:
Dados:
→ (u + v) . (u - v) = 10
→ (u + v)^2 = (u + v) . (u + v) = 10
→ u .v = -10
Pedido:
|| v || = ?
Resolução:
Pegando na primeira igualdade, e aplicando a Propriedade Distributiva da
Multiplicação em relação à adição algébrica
Início de cálculos
(u + v) . (u - v) = 10
⇔ u . u - u . v + v . u - v . v = 10
"- u . v " e " v . u " são opostos ( simétricos ) cancelam-se na adição
e
u . u = || u ||²
u . u - u . v + v . u - v . v = 10
⇔ || u ||² - || v ||² = 10
Agora na segunda igualdade
(u + v)^2 = (u + v) . (u + v) = 10
Novamente Propriedade Distributiva
⇔ u . u + u . v + v . u + v . v = 10
⇔ || u ||² + u . v + u . v + || v || ² = 10 Propriedade comutativa ( u . v = v . u )
⇔ || u ||² + 2 * (u . v ) + || v || ² = 10
Agora temos duas equações podendo montar um sistema de equações
{ || u || - || v ||² = 10
{ || u ||² + 2 * (u . v )+ || v || ² = 10
Vou usar Método de Substituição
{ || u || = 10 + || v ||²
{ || u ||² + 2 * (u . v )+ || v || ² = 10
Como " u .v = - 10 "
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ 10 + || v ||² + 2 * ( - 10 ) + || v || ² = 10
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ 10 + 2 * || v ||² - 20 = 10
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ 2 * || v ||² = 10 - 10 + 20
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ 2 * || v ||² = 20 dividir tudo por 2
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ 2 / 2 * || v ||² = 20 / 2
⇔
{ || u || = 10 + || v ||²
{ || v ||² = 10
Já só temos
|| v ||² = 10
⇔
|| v || = + √10 ou || v || = - √10 ( rejeitar esta solução )
porque a norma ( dimensão ) de um vetor vem sempre positiva
|| v || = √10
Fim de cálculos
Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores
1ª ) Propriedade comutativa
v . w = w . v
2ª) Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²
Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.
v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )
Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.
cos ( 0 º ) = 1
Logo
v . v = || v|| * || v || * 1
v . v = || v|| * || v ||
v . v = || v||²
3ª) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )
u . ( v + w ) = u . v + u . w
4ª) Propriedade associativa
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5ª) Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K
|kv| = |k| |v|
6ª) |u.v| ≤ |u| |v| ( desigualdade de Schwarz )
7ª) |u+v| ≤ |u| + |v| ( desigualdade triangular)
Bons estudos.
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( . ) produto interno de vetores ( * ) multiplicação ( / ) divisão
|| || norma de um vetor
