Resposta:
1 ) || u || = + 6
Explicação passo a passo:
1 )
Dados :
|| vetor v || = 5
Produto interno de ( u + v ) . ( u - v ) = 11
Pedido:
|| u || = ?
Resolução :
Como as operações de no produto interno de vetores gozam da
Propriedade Distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica ,
aplicámo-la como se faz em casos de multiplicação de números ou
expressões com letras.
( é a vulgarmente chamada de " regra do chuveirinho " )
( u + v ) . ( u - v ) = 11
(u . u) + (u . (-v) ) + ( v . u ) + ( v . ( -v ) ) = 11
|| u ||² - ( u . v ) + ( v . u ) - || v ||² = 11
Como " - ( u . v ) " e " + ( v . u ) " são opostos ( simétricos ) cancelam-se ao
serem adicionados
|| u ||² - || v ||² = 11
Mas é dada a norma do vetor v. || v || = 5
|| u ||² - 5² = 11
|| u ||² = 11 + 25
|| u ||² = 36
|| u || = + [tex]\sqrt{36}[/tex] ou || u || = -
Quando se extrai uma raiz quadrada de um número, originam-se dois
valores opostos ( simétricos ).
É necessário, dentro do contexto do problema, perceber qual ou quais são
válidas.
A norma de um vetor, sendo a dimensão desse vetor , só pode ter valores
iguais a zero ou positivos.
Norma com valor zero será para vetores nulos .
Exemplo :
Vetor FG = ( 0 ; 0 )
Assim só nos interessa o valor positivo da raiz quadrada
|| u || = + 6
2 )
Dados:
( u ^ v) = π/3
Pedido :
Produto interno de vetores u e v
Resolução :
Pela fórmula do Produto Interno de vetores, envolvendo o cosseno do
ângulo formado por eles.
Início de cálculos
cos (u ^ v ) = ( u . v ) / ( || u || * || v || )
[tex]cos(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{u.v}{||u||*||v||}[/tex]
Existem um conjunto de ângulos que é necessário saber , de memória, os
valores dos senos, cossenos e tangentes desses ângulos.
[tex]cos(\dfrac{\pi }{3}) =\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{2} =\dfrac{u.v}{6*5}[/tex]
produto cruzado
1 * 30 = 2 * ( u.v)
( u.v) = 30/2
( u.v) = 15
Fim de cálculos.
Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores
1ª ) Propriedade comutativa
v . w = w . v
2ª) Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
v.v = ||v|| ||v|| = ||v||²
Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.
v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )
Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.
cos ( 0 º ) = 1
Logo
v . v = || v|| * || v || * 1
v . v = || v|| * || v ||
v . v = || v||²
3ª) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )
u . ( v + w ) = u . v + u . w
4ª) Propriedade associativa
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5ª) Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K
|kv| = |k| |v|
6ª) |u.v| ≤ |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
7ª) |u+v| ≤ |u| + |v| (desigualdade triangular)
Observação → Alguns Valores a saber de memória na Trigonometria
[tex]sen(\dfrac{\pi }{6})=\dfrac{1}{2}[/tex] [tex]sen(\dfrac{\pi }{4} )=\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]sen(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]cos(\dfrac{\pi }{6})=\dfrac{\sqrt{3} }{2}[/tex] [tex]cos(\dfrac{\pi }{4} )=\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]cos(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{1 }{2}[/tex]
Bons estudos.
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( . ) produto interno de vetores ( * ) multiplicação ( / ) divisão
|| || norma de um vetor
( u^v ) ângulo entre vetores "u" e " v "
