Sagot :
Resposta:
1.1 ) 12 1.2 ) 18 1.3) 2 1.4 ) 7 1.6) 72
[tex]1.5)....\dfrac{4+6v}{v}[/tex]
Explicação passo a passo:
Dados:
||u||=2
||v||= 3
u . v = 3
Resolução:
1.1
v . (u +v)
v . u + v . v ( u . v = v . u propriedade comutativa )
v . u + || v ||²
3 + 3² = 12
1.2
2 * u . (- v + 3u)
= - 2 * ( u . v ) + 6 * ( u . u )
= - 2 * (u . v ) + 6 * || u ||²
= - 2 * 3 + 6 * 2²
= - 6 + 24
= 18
1.3 )
(u + v) . (2u - v)
= 2 * (u . u ) - u . v + 2 * ( v . u ) - v . v
= 2 * || u ||² - u . v + 2 * ( u . v ) - || v ||²
= 2 * || u ||² + ( 2 - 1 ) * ( u . v ) - || v ||²
= 2 * || u ||² + ( u . v ) - || v ||²
= 2 * 2² + 3 - 3²
= 8 + 3 - 9
= 11 - 9
= 2
1.4)
(2 * u - v ) . (2 * u + v)
= 4 * ( u . u ) + 2 * ( u . v ) - 2 * (v . u ) - ( v . v )
" 2 * ( u . v ) " e " - 2 * (v . u ) "
opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição
= 4 * || u ||² - || v ||²
= 4 * 2² - 3²
= 16 - 9
= 7
1.5)
u . (u ÷ v) - v . ( u - v)
Partindo do princípio que o enunciado é este ficaria :
[tex]=u.\dfrac{u}{v}-v.u+v.v[/tex]
[tex]=\dfrac{u}{1} .\dfrac{u}{v}-v.u+||v||^2[/tex]
[tex]=\dfrac{||u||^2}{v}-v.u+||v||^2[/tex]
[tex]=\dfrac{2^2}{v}-3+3^2[/tex]
[tex]\dfrac{4}{v}-3+9[/tex]
[tex]=\dfrac{4}{v}+6[/tex]
[tex]=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6}{1}[/tex]
Na segunda fração multiplicar numerador e denominador por " vetor v "
[tex]=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6*v}{1*v}[/tex]
[tex]=\dfrac{4}{v}+\dfrac{6v}{v}[/tex]
[tex]=\dfrac{4+6v}{v}[/tex]
1.6)
||2u + 3v||² - ||2u - 3v||²
Demonstra-se que || u ||² = u . u
Então
||2u + 3v||² = ( 2u + 3v ) . ( 2u + 3v )
e
||2u - 3v||² = ( 2u - 3v ) . ( 2u - 3 v)
Assim
||2u + 3v||² - ||2u - 3v||²
= ( 2u + 3v ) . ( 2u + 3v ) - ( 2u - 3v ) . ( 2u - 3 v)
= 2 * || u ||² + 6 * u . v + 6 * u . v + 9 || v ||² -
- ( 2 * || u ||² - 6 * u . v - 6 * v . u + 9 * ||v ||² )
= 2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) + 9 || v ||² - ( 2 * || u ||² - 12 * (u . v ) + 9 * || v ||² )
= 2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) + 9 * || v ||² - 2 * || u ||² + 12 * ( u . v ) - 9 * || v ||² )
" 2 * || u ||² " e " - 2 * || u ||² " opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição
" 9 * || v ||² " e " - 9 * || v ||² " opostos ( simétricos ) ; cancelam-se na adição
= 12 * (u . v ) + 12 * ( u . v )
= 24 * ( u . v )
= 24 * 3 = 72
Fim de cálculos
Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores
1ª ) Propriedade comutativa
v . w = w . v
2ª) Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²
Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.
v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )
Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.
cos ( 0 º ) = 1
Logo
v . v = || v|| * || v || * 1
v . v = || v|| * || v ||
v . v = || v||²
3ª) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )
u . ( v + w ) = u . v + u . w
4ª) Propriedade associativa
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5ª) Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K
|kv| = |k| |v|
6ª) |u.v| ≤ |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
7ª) |u+v| ≤ |u| + |v| (desigualdade triangular)
Bons estudos.
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( . ) produto interno de vetores ( * ) multiplicação ( / ) divisão
|| || norma de um vetor
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