[tex]\boxed{\begin{array}{l}\rm(u+v)\cdot(u-v)=u^2-v^2\\\rm (u+v)\cdot(u-v)=(k)^2-(2k)^2\\\rm(u+v)\cdot(u-v)=k^2-4k^2\\\rm(u+v)\cdot(u-v)=-3k^2\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\rm\dagger\,\red{\maltese}~\blue{alternativa~C}}}}}\end{array}}[/tex]
Resposta:
- 3k² logo C)
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Produto Interno ou escalar de vetores
Tal como aparece aqui indicado ( u + v ) . ( u - v ), o sinal ( . ) não é um sinal
da operação tradicional de multiplicação,
É sim o sinal de " Produto Interno de vetores"
E tem significado distinto.
Observação 2 → Desenvolvimento de um produto interno de vetores
Pegando novamente neste exemplo:
(u + v) . ( u - v) = u . u - u . v + v . u - v . v
Ficamos com quatro produtos internos de vetores.
Aplicando a Propriedade Comutativa do Produto Interno de Vetores
u . v = v . u
Aplicando a Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
u . u = || u ||²
Deste modo prosseguimos nos cálculos:
(u + v) . ( u - v) = u . u - u . v + v . u - v . v
(u + v) . ( u - v) = || u ||² - u . v + u . v - || v ||²
"- u . v" e " + u . v " são opostos ( simétricos) anulam-se na adição
(u + v) . ( u - v) = || u ||² - || v ||²
Sendo dado que :
||u||= k e ||v||= 2k
(u + v) . ( u - v) = k² - ( 2 * k )²
= k² - 2² * k²
= k² - 4 * k²
= ( 1 - 4 ) * k²
= - 3k² logo C)
Fim de cálculos
Observação 3 → Símbolos usados e diferenças
Se você estiver no Brasil dirá e escreverá que:
| vetor u | → Norma ou módulo de um vetor = dimensão do vetor
Se estiver fora do Brasil ( exemplo Portugal ) escreverá
|| vetor u || → Norma de um vetor = dimensão do vetor
Em Portugal :
| | é reservado, principalmente para módulo de um número,
representando a distância desse número em relação ao zero da reta dos
números reais.
Exemplo:
| - 4 | = 4
| 5 | = 5
Como se tratam de distâncias, módulos dão origem a valores positivos.
Não se usa distâncias negativas.
- 4 5
-------------X------------------0----------------------X-----------
Observação 4 → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores
1ª ) Propriedade comutativa
v . w = w . v
2ª) Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo
v . v = ||v|| * ||v|| = ||v||²
Demonstração desta propriedade.
v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )
Mas o ângulo ( v ^ v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.
cos ( 0 º ) = 1
Logo
v . v = || v || * || v || * 1
v . v = || v|| * || v ||
v . v = || v||²
3ª) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )
u . ( v + w ) = u . v + u . w
4ª) Propriedade associativa
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5ª) Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K
|kv| = |k| |v|
6ª) |u.v| ≤ |u| |v| (desigualdade de Schwarz)
7ª) |u+v| ≤ |u| + |v| (desigualdade triangular)
( As duas últimas propriedades ainda não deverá ter dado nesta fase inicial
de produto interno de vetores )
Bons estudos.
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( . ) Produto Interno ou escalar de vetores
( * ) multiplicação || || norma de um vetor
