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Sagot :
Pelo método dos coeficientes indeterminados, a solução y(x) é composta por duas partes: y(x) = yh(x) + yp(x)
A primeira é a solução da equação homogênea, enquanto a segunda é a solução particular.
1) Solução Homogênea:
A solução de uma EDO homogênea é obtida zerando a parte que não possui y (e suas derivadas) e a solução pode ser escrita na forma de y = e^(k*x).
4y′′ + 12y′ + 9y = 0
Com y = e^(k*x), derivamos duas vezes para obter y' e y'':
y' = k*e^(k*x); e y'' = k²*e^(k*x)
Agora, substituímos na equação homogênea:
4k²*e^(k*x) + 12k*e^(k*x) + 9e^(k*x) = 0. Simplificando:
4k² + 12k + 9 = 0
Resolvendo a equação quadrática, obtemos k = - 3/2
Agora, vamos utilizar esse resultado para obter yh(x) com base no delta da eq. quadrática:
Δ > 0 => yh(x) = c1*e^(k1*x) + c2*e^(k2*x)
Δ = 0 => yh(x) = c1*e^(k*x) + c2*x*e^(kx)
Δ < 0 => yh(x) = e^(a*x) * (c1*cos(bx) + i*sin(bx)) onde a é a parte real da solução e b a parte imaginária.
Nosso caso é Δ = 0. Logo,
yh(x) = c1e^(-3/2*x) + c2*x*e^(-3/2*x)
2) Solução particular
Essa solução é baseada na parte ( x + e^(-3x) ) da equação. A solução particular yp é uma generalização dessa parte:
yp(x) = [Ax + B] + [C*e^(-3x)]
Derive duas vezes para obter y' e y'':
y' = A - 3Ce^(-3x)
y'' = 9Ce^(-3x)
Substituindo na equação inicial:
36Ce^(-3x) + 12A - 36Ce^(-3x) + 9Ax + 9B + 9Ce^(-3x) = x + e^(-3x)
Simplificando:
9Ax + 9Ce^(-3x) + 12A + 9B = x + e^(-3x)
Por inspeção, geramos o sistema:
12A + 9B = 0 => B = -4/27
9C = 1 => C = 1/9
9A = 1 => A = 1/9
Portanto, yp(x) = x/9 + ( e^(-3x) )/9 - 4/27
Por fim, a solução geral:
[tex]y(x) = \frac{x}{9} + \frac{e^{3x}}{9} - \frac{4}{27} + c_1e^{-\frac{3}{2}x} + c_2xe^{-\frac{3}{2}x}[/tex]
(obs: C1 e C2 poderiam ser encontrados se o problema tivesse fornecido condições iniciais)
A solução geral da edo [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=x+e^{-3x}\end{gathered}$}[/tex] calculada pelo método dos coeficientes indeterminados é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y=C_1\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+\frac{e^{-3x}}{9} +\frac{x}{9}-\frac{4}{27}\end{gathered}$}[/tex]
Desejamos calcular a seguinte E.D.O de 2º ordem não homogenia:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=x+e^{-3x}\end{gathered}$}[/tex]
Para isso, temos que [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y=yh+yp \end{gathered}$}[/tex] , ou seja . a solução geral é igual a soma da solução da homogenia com a solução particular. Vamos então encontrar a solução da homogenia:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt 4\lambda^2+12\lambda+9=0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \lambda = \frac{-12\pm \sqrt0}{8} \Rightarrow \boxed{\lambda=-\frac{3}{2}} \end{gathered}$}[/tex]
E como o delta é nulo, temos multiplicidade 2, logo a solução da homogenia é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt yh= C_1 \cdot e^{-\frac{3x}{2}} +C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}} \end{gathered}$}[/tex]
Vamos agora calcular a solução particular, mas para isso, vale ressaltar que a soma das particulares é igual a particular, logo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y=\underbrace{\tt(4y''+12y'+9y=x)}_{\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt (I)\end{gathered}$}} +\underbrace{\tt(4y''+12y'+9y=e^{-3x})}_{\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt (II)\end{gathered}$}} \end{gathered}$}[/tex]
Com isso, vamos então calcular a particular da eq (I):
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y=Ax^2+Bx+C \end{gathered}$}[/tex]
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y'=2Ax+B \end{gathered}$}[/tex]
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y''=2A \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 4\cdot (2A)+ 12\cdot(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=x\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 8A+ 24Ax+12B+9Ax^2+9Bx+9C-x=0\end{gathered}$}[/tex]
Colocando em evidencia, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x^2\cdot (9A)+x\cdot(24A+9B-1)+(8A+12B+9C)=0\end{gathered}$}[/tex]
Com isso temos o seguinte sistema:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases} \tt 9A=0\ \ (III)\\ \tt 24A+9B=1\ \ (IV)\\ \tt 8A+12B+9C=0\ \ (V)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\tt 9B=1\ \ (VI)\\ \tt 12B+9C=0\ \ (VII) \end{cases}\end{gathered}$}[/tex]
Resolvendo esse sisteminha, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underline{\boxed{\tt A=0}}\ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt B=\frac{1}{9}}} \ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt C=-\frac{4}{27} }}\end{gathered}$}[/tex]
Com isso, temos que a particular da eq (I) é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt (I):yp=\frac{x}{9} -\frac{4}{27} \end{gathered}$}[/tex]
Vamos agora calcular a particular da eq (II):
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y=Ae^{-3x} \end{gathered}$}[/tex]
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y'=-3Ae^{-3x} \end{gathered}$}[/tex]
- [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y''=9Ae^{-3x} \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt \diagup\!\!\!36Ae^{-3x}-\diagup\!\!\!36Ae^{-3x}+9Ae^{-3x}=e^{-3x}\end{gathered}$}[/tex]
Com isso, temos que a particular da eq (II) é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt (II):yp=\frac{e^{-3x}}{9} \end{gathered}$}[/tex]
Logo, a solução geral da edo é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\tt y=C_1\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+\frac{e^{-3x}}{9} +\frac{x}{9}-\frac{4}{27}}}} \ \ (\checkmark).\end{gathered}$}[/tex]
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