Resposta:
a) 131
Explicação passo a passo:
Chamemos de x a quantidade de centímetros da altura da maquete.
Chamemos de y a quantidade de centímetros do comprimento da maquete. Vamos escrever a proporção que ele deseja em termos das duas dimensões (altura e comprimento).
[tex]\frac{x}{1500} = \frac{1}{k} \ \ \ (x \in [0,5 \ ; 1])\\\\\frac{y}{9000} = \frac{1}{k} \ \ \ (y > 4)\\\\k = \frac{1500}{x} \\\\k = \frac{9000}{y} \\\\\frac{1500}{x} = \frac{9000}{y} \\\\\frac{1}{x} = \frac{6}{y} \\\\y = 6x[/tex]
Sabemos que y > 4, então:
[tex]6x > 4\\x > \frac{4}{6} \\x > \frac{2}{3} = 0,666...[/tex]
Mas x só pode estar entre 0,5 e 1, então os valores possíveis de x até agora estão no intervalo [tex]]\frac{2}{3} ;1][/tex]
Vamos avaliar os valores de k nos extremos desse intervalo.
Para x = [tex]\frac{2}{3}[/tex]:
[tex]k = \frac{1500}{x} \Rightarrow k = \frac{1500}{\frac{2}{3}} \\ \bold{k = 2250}[/tex]
Para x = 1:
[tex]k = \frac{1500}{x} \Rightarrow k = \frac{1500}{1} \\\bold{k = 1500}[/tex]
Então os possíveis valores de k estão no intervalo [1500 ; 2250[.
Porém, note que ele disse que k deve ter raiz quadrada número primo.
Números primos são números naturais.
Então k deve ser quadrado perfeito, do contrário sua raiz quadrada não será natural e muito menos número primo!
Os seguintes números naturais têm quadrado entre 1500 e 2250:
39² = 1521
40² = 1600
41² = 1681
42² = 1764
43² = 1849
44² = 1936
45² = 2025
46² = 2116
47² = 2209
Desses números apenas 41, 43 e 47 são primos. Então os possíveis valores de k são 1681, 1849 e 2209.
Como ele quer a soma das raízes quadradas desses números:
41 + 43 + 47 = 131
