É uma questão de geometria analítica.
Encontramos a equação geral da reta igualando o seguinte determinante a zero, em que [tex]x_{a}[/tex] e [tex]y_{a}[/tex] são as coordenadas de A e [tex]x_{b}[/tex] e [tex]y_{b}[/tex] são as coordenadas de B:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}x_{a} &y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x&y&1\end{array}\right] = 0[/tex]
Resolvendo a conta, encontramos a equação geral agrupando os termos na seguinte forma:
[tex]ax + by + c = 0[/tex]
Da equação geral, podemos extrair a equação reduzida isolando o [tex]y[/tex] no lado esquerdo da equação, obtendo a forma:
[tex]y = mx + n[/tex]
O coeficiente [tex]m[/tex] na equação reduzida é o coeficiente angular.
O coeficiente [tex]n[/tex] é o coeficiente linear.
O coeficiente angular é a tangente do ângulo [tex]\alpha[/tex] que a reta faz com o eixo x.
Portanto o ângulo é dado por:
[tex]\alpha = arctan(m)[/tex]
a) Substituindo as coordenadas de A e B no determinante acima:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 1\\x&y&1\end{array}\right] = 0[/tex]
Resolvendo o determinante:
[tex](1-3)x + (5-3)y + (9-5) = 0[/tex]
A forma geral da equação é:
[tex]-2x + 2y + 4 = 0[/tex]
b) Isolando o [tex]y[/tex] do lado esquerdo na forma geral:
[tex]-2x + 2y + 4 = 0\\2y = 2x - 4\\y = x - 2[/tex]
Que é a forma reduzida da equação.
c) O coeficiente angular é o coeficiente da variável x na forma reduzida da equação. Podemos escrever a forma reduzida como:
[tex]y = 1x - 2[/tex]
E vemos assim que o coeficiente angular é:
[tex]m = 1[/tex]
d) Comparando a equação reduzida [tex]y = x - 2[/tex] que encontramos com a fórmula [tex]y = mx + n[/tex], vemos que o coeficiente linear é:
[tex]n = -2[/tex]
e) Calculamos o ângulo da reta com o eixo x com:
[tex]\alpha = arctan(1)[/tex]
O arco cuja tangente é igual a 1 é:
[tex]\alpha = 45 \textdegree\\[/tex]
ou, em radianos:
[tex]\alpha = \frac{\pi}{4}[/tex]
