Sendo cos x= 4/5 e 0< x < TT/2 caucule o valor de sen²x -3 vezes senx.
Vamos calcular primeiramente o senx.
[tex]sen^{2}x + cos^{2}x = 1[/tex]
[tex]sen^{2}x + (\frac{4}{5})^{2} = 1[/tex]
[tex]sen^{2}x + \frac{16}{25} = 1[/tex]
[tex]sen^{2}x = 1 - \frac{16}{25}[/tex]
[tex]sen^{2}x = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}[/tex]
[tex]sen^{2}x = \frac{9}{25}[/tex]
[tex]senx = \pm \sqrt{\frac{9}{25}}[/tex]
[tex]senx = \pm \frac{3}{5}[/tex]
Como x está no primeiro quadrante, iremos pegar apenas o postivo:
[tex]\boxed{senx = \frac{3}{5}}[/tex]
Agora é só calcular:
[tex]sen^{2}x - 3 \cdot (senx)[/tex]
[tex](\frac{3}{5})^{2} - 3 \cdot (\frac{3}{5})[/tex]
[tex]\frac{9}{25} - \frac{9}{5}[/tex]
(MMC = 25)
[tex]\frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \boxed{\boxed{-\frac{36}{25}}}[/tex]
Partimos novamente da relação fundamental:
[tex]sen ^2x+cos ^2 x =1[/tex]
[tex]sen ^2 x= 1- cos ^2 x[/tex]
[tex]sen x = \sqrt{1-cos ^2 x}[/tex]
Assim a expressão [tex]sen ^2 x - 3 \cdot sen x[/tex]
Pode ser escrita assim:
[tex]1-cos^2 x-3 \cdot\sqrt{1-cos ^2 x}[/tex]
se [tex]cos x=\frac {4}{5}[/tex] então [tex]cos ^2 x = \frac {16}{25}[/tex]
Substituindo-se estes valores na expressão, temos
[tex]1-\frac {16}{25}-3 \cdot \sqrt {1-\frac{16}{25}[/tex]
[tex]1-\frac {16}{25}-3\cdot\sqrt{\frac{9}{25}[/tex]
[tex]1-\frac {16}{25}-\frac {9}{5}=-\frac{36}{25}[/tex]
