Oi Murilo!
1° Resolução:
Então, eu encontrei dos tipos de soluções, uma delas é essa.
Inicialmente calculei a derivada da função zeta, que deu:
[tex]\Large {\text {$ \it \cfrac{d}{ds} \left( \zeta (s) \right ) \Rightarrow \cfrac{d}{ds} \displaystyle \left ( \sum_{\it n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^s} \right )\Rightarrow \sum_{\it n=1}^{\infty} \left ( \cfrac{d}{ds} \left ( n^{-s} \right ) \right) $}}[/tex]
Depois, temos que a derivada que inclui uma potência será:
[tex]\Large {\text {$ \it \boxed {\it \cfrac{d}{dx} \left(b^x \right) = b^x \cdot ln(b) } $}}[/tex]
Fazemos isso na série:
[tex]\Large {\text {$ \it \displaystyle \sum_{\it n=1}^{\infty} n^{-s} \cdot ln \left(n \right)\cdot \left (-1 \right) \Rightarrow \sum_{\it n=1}^{\infty} \cfrac{-ln(n)}{n^s} $}}[/tex]
Tendo a derivada da série, iremos substituir:
[tex]\Large {\text {$ \it \displaystyle - \sum_{\it n=1}^{\infty} ln(n) = -(ln\: 1 + ln \: 2 + ln \: 3+ ...) $}}[/tex]
Que expandindo dará:
[tex]\Large {\text {$ \bf \zeta ' (0) =- \cfrac{1}{2} log \left( 2\pi \right) $}}[/tex]
2° Resolução:
Usando a fórmula de Euler-Maclaurin, pode se afirmar que:
[tex]\large { \text { $ \zeta \left(s \right) = \cfrac{1}{s-1} + \cfrac{1}{2}-s \displaystyle \int^\infty_1 {\cfrac{\overline {B_1} \left(x \right) }{x} } $ }}[/tex]
mantém se válido que a última integral converge. Diferenciando os lados:
[tex]\large {\text {$ \zeta ' \left(0 \right ) = -1 - \displaystyle \int\limits^\infty_1 \cfrac{\overline {B_1} \left(x \right )}{x} \: dx $}}[/tex]
Para determinar o valor da última integral teremos de recorrer a fatoriais:
[tex]\large {\text {$ log \: N! = \left ( N+ \cfrac{1}{2} \right ) log \: N - N +1 + \displaystyle \int\limits ^N_1 \cfrac{ \overline {B_1} \left (x \right ) }{x} \: dx $}}[/tex]
Usando a aproximação de Stirling:
[tex]\large {\text {$ 1+ \displaystyle \int\limits^N_1 \cfrac{\overline {B_1} \left( x \right)}{x} \: dx = \cfrac{1}{2} \: log \: 2\pi + \mathcal {O} \left( \cfrac{1}{(N)} \right) $}}[/tex]
Resultando também em:
[tex]\large {\text {$ \boxed {\bf \zeta ' \left( 0 \right ) = - \cfrac{1}{2} \: log \: 2\pi }$}}[/tex]
