"A integral de linha de f ds ao longo da curva C", isto tecnicamente não significa nada, então vamos quebrar em partes:
f: f será uma função em termos de x e y (podem ser coordenadas polares também), que representará uma superfície em R³;
C: C ou C(t) normalmente é dado por uma dupla de equações paramétricas no parametro t, ou por uma função vetorial dependente de t também, ou seja, ou C(t) = (f(t), g(t)), ou C(t) = x = f(t), y = g(t), ou C(t) = f(t)î + g(t)ĵ; e
ds: por definição, ds = √((dx/dt)² + (dy/dt)²)dt, ou seja, isso significa que você terá que expressar f em termos de t também (é só substituir as equações de C).
Normamente uma integral de linha ao longo do contour ou da curva ou do campo C tem a notação com um círculo na integral quando C é uma região fechada, ou seja, termina onde começou (exemplo disto é quando C é uma circumferência completa).
Espero que você tenha entendido.
Bons estudos ma dear.
