[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int_0^{2\pi} \frac{x^2}{\pi^2} \cdot \sin(x)\ dx = -4\end{gathered}$}[/tex]
Desejamos calcular a seguinte integral:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int_0^{2\pi} \frac{x^2}{\pi^2} \cdot \sin(x)\ dx\end{gathered}$}[/tex]
Pela lineariedade, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2} \int_0^{2\pi} x^2 \cdot \sin(x)\ dx\end{gathered}$}[/tex]
Como temos um produto entre duas funções, devemos aplicar a integração por partes. O método da integração por partes é dado pela seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int u\cdot dv= u\cdot v-\int v\cdot du\end{gathered}$}[/tex]
No caso na sua questão, como temos uma integral definida, temos então que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underline{\boxed{\int_a^b u\cdot dv= u\cdot v\bigg|_a^b-\int_a^b v\cdot du}}\end{gathered}$}[/tex]
Chamando então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u= x^2\ \ \Rightarrow \ \ du=2x\ dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} dv= \sin(x) \ dx\ \Rightarrow \ v=-\cos (x)\end{gathered}$}[/tex]
Temos então que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2} \int_0^{2\pi} x^2 \cdot \sin(x)\ dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left( x^2\cdot -\cos(x) \bigg|_0^{2\pi}-\int _0^{2\pi} -\cos(x)\cdot 2x\ dx\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left(- x^2\cos(x)\bigg|_0^{2\pi} +2\cdot \int _0^{2\pi} \cos(x)\cdot x\ dx\right)\end{gathered}$}[/tex]
Perceba que temos novamente uma integral de um produto de funções, logo, teremos que aplicar novamente o método de integração por partes. Chamando então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u= x\ \ \Rightarrow \ \ du=dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} dv= \cos(x)\ dx\ \ \Rightarrow \ \ v=\sin(x)\end{gathered}$}[/tex]
Ficando então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- x^2\cos(x)\bigg|_0^{2\pi} +2\cdot \left( x\sin(x)\bigg|_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin(x)dx\right)\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- x^2\cos(x)\bigg|_0^{2\pi} + 2x\sin(x)\bigg|_0^{2\pi}-2\int_0^{2\pi}\sin(x)dx\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- x^2\cos(x) +2x\sin(x)+2\left(\cos(x)\right) \bigg|_0^{2\pi} \right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- x^2\cos(x)\bigg|_0^{2\pi} + 2x\sin(x)\bigg|_0^{2\pi}-2\cos(x)\bigg|_0^{2\pi}\right]\end{gathered}$}[/tex]
Aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- (2\pi)^2\cos(2\pi) + 4\pi\sin(2\pi)-2\cdot \left(\cos(2\pi)-\cos(0)\right)\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{1}{\pi ^2}\cdot \left[- 4\pi^2 + 0-2\cdot (1-1)\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\int_0^{2\pi} \frac{x^2}{\pi^2} \cdot \sin(x)\ dx=\frac{-4\!\diagup\!\!\!\!\pi^2}{\!\diagup\!\!\!\!\pi^2} = -4}}}\ \ (\checkmark).\end{gathered}$}[/tex]
