Muito bem, vamos lá.
Muito antigamente, quando ainda fórmulas para equações quadráticas e cúbicas estavam sendo criadas, matemáticos se deparavam frequentemente com a raíz quadradada de um número negativo.
Você consegue pensar em um número real que multiplicado por ele mesmo resulta em um número negativo?
Provavelmente não, ou melhor, você não consegue.
Vamos tomar como exemplo o número √(- 9). É definitivamente impossível encontrar um ponto que contenha √(- 9) num plano cartesiano. Observe um plano cartesiano e tente você mesmo.
Pois bem, √(- 9) não é o único da lista. Temos também √(- 4), √(- 25) ou √(- 7), por exemplo. Mas... o que será que esses números tem em comum?
Veja, por mais que seja ímpossível achar √(- 9) num plano cartesiano, nada nos impede de simplificar um pouco este número. Gauss, um antigo matemático, percebeu a seguinte relação entre esses tipos de números:
√(- 9) = √(9 × (- 1)) = (√9)√(- 1) = 3√(- 1);
√(- 4) = √(4 × (- 1)) = (√4)(√(- 1)) = 2√(- 1);
√(- 7) = √(7 × (- 1)) = (√7)√(- 1) = √7√(- 1).
Percebeu? Todos estes números possuem um múltiplo em comum: √(- 1). Vamos analisar um caso geral com um número qualquer a:
√(- a) = √(a × (- 1)) = (√a)√(- 1) = √a√(- 1).
Está vendo apareceu de novo, √(- 1).
Gauss, então, determinadamente disse:
"Vamos então, a partir de agora chamar √(- 1) de i. Decidido".
Assim, temos i = √( - 1).
Agora que você já entendeu como esses núneros surgiram e o que significa i, vamos a algumas definições mais formais.
Gauss não chamou √(- 1) de i por acaso, teve um motivo: i representa a unidade imaginária que satisfaz i² = - 1. Todo número que possui alguma parte com raiz quadrada de um número negativo é chamado de número complexo.
E, se o número em si é a raiz quadrada de um número negativo, ele é chamado de número imaginário. Veja, vamos continuar a nossa definição de √(- a), agora que sabemos que i = √(- 1):
√(- a) = √a × √(- 1) = √a × i = i√a.
Você consegue simplificar o número 2 + 3i? Não, eu sei. Por isso mesmo nós os deixamos assim mesmo. Ou seja, todo número complexo z possui forma de z = a + bi, onde a e b são números reais. Perceba a diferença:
a + bi é um número complexo;
bi é um número imáginário, pois a parte real a é nula (= 0).
Com isto, temos um conjunto de números a mais chamado de imáginários e outro maior ainda, chamado de complexos.
Assim como o número 8 é um número natural, inteiro, racional (mas não irracional) e real, ele também é um número complexo (mas não imaginário).
O estudo mais aprofundado dos números não reais (complexos ou imaginários) é chamado de análise complexa. Todo número complexo pode ser escrito na forma de a + bi.
Agora, uma pra você: quanto é 2^i? (Dois elevado à raiz quadrada de menos um). Pois bem, é pra isso (e muito mais) que a análise complexa serve. Tente escrever 2^i como a + bi você mesmo!
Espero que você tenha entendido.
Bons estudos, ma dear.
