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Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.

Sagot :

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Resposta:

[tex]y = c_{1}e^{3t/2} + c_{2}e^{t}[/tex]

Explicação passo a passo:

Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, com coeficientes constantes a= 2, b = -5 e c = -3.

Desta maneira, a solução será da forma [tex]y = e^{ k. t}[/tex],  onde k é uma constante

Reescrevendo a equação com [tex]y = e^{ k. t}[/tex] , temos

2y’’ − 5y’ − 3y = 0

2([tex]e^{kt}[/tex])'' - 5([tex]e^{kt}[/tex])' - 3[tex]e^{kt}[/tex] = 0

2k²[tex]e^{kt}[/tex] - 5k[tex]e^{kt}[/tex] - 3[tex]e^{kt}[/tex] = 0

[tex]e^{kt}[/tex] (2k² - 5k - 3) = 0

2k² - 5k - 3 = 0 , por Bhaskara, temos

5 ± √(25 -24) / 4

(5 ± 1 )/ 4

k = 3/2 ou k = 1

Como as duas raízes são reais e distintas, a solução assume a forma

[tex]y = c_{1}e^{3t/2} + c_{2}e^{t}[/tex]

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