Olá, Mary.
O polinômio da questão é de grau 3 e possui, portanto, três raízes.
Como conhecemos uma das raízes da equação, podemos encontrar as outras duas por meio das Relações de Girard para raízes de polinômios de 3.º grau.
Primeiramente, vamos enunciar as Relações.
Seja o polinômio de grau 3 na forma geral abaixo:
[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]
De acordo com as Relações de Girard, suas raízes, ou seja, os valores [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] para os quais temos [tex]P(x_i)=0,i=1,2,3,[/tex] possuem as seguintes relações:
[tex]\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac b a\text{ (i)} \\ x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac c a\text{ (ii)}\\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac d a\text{ (iii)}\end{cases}[/tex]
Como já temos uma das raízes, basta-nos apenas duas das relações acima para encontrarmos as outras duas. Fazendo [tex]x_1=2,x_2=p,x_3=q[/tex] e utilizando as relações (i) e (iii), temos:
[tex]\begin{cases} 2 + p + q = 0 \\ 2pq = \frac{10}9\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p+q=-2 \\ 2pq=\frac{10}9\end{cases} \Rightarrow \\\\\\ \begin{cases} (p+q)^2=p^2+2pq+q^2=4 \\ 2pq=\frac{10}9 \end{cases} \\\\\\ \text{Subtraindo a primeira equa\c{c}\~ao da segunda, temos:}\\\\ p^2+2pq+q^2-2pq=4-\frac{10}9=\frac{36-10}9=\frac{26}9 \Rightarrow \boxed{p^2+q^2=\frac{26}9}[/tex]
