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Provar que 9n − 1 ´e sempre um multiplo de 8 para todo n ≥ 1.

Sagot :

Zecol

Pode-se provar esta afirmação por indução. Supondo que essa relação é válida para [tex]n[/tex], existe um [tex]k[/tex] inteiro para o qual [tex]9^n-1=8k[/tex]. Para [tex]n+1[/tex] temos que:

[tex]9^{n+1}-1=9\cdot9^n-1[/tex]

[tex]9^{n+1}-1=(8+1)\cdot9^n-1[/tex]

[tex]9^{n+1}-1=8\cdot9^n+9^n-1[/tex]

Sendo [tex]9^n-1=8k[/tex]:

[tex]9^{n+1}-1=8\cdot9^n+8k[/tex]

[tex]9^{n+1}-1=8\cdot(9^n+k)[/tex]

Provando assim que [tex]9^n-1[/tex] é múltiplo de 8 implica que [tex]9^{n+1}-1[/tex] também o é. Como a relação é válida para [tex]n=1[/tex] pois [tex]9^1-1=8[/tex] é múltiplo de 8, ela é válida para todo [tex]n\geq 1[/tex].

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