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Sagot :
Resposta:
[tex] k=-\frac{4}{5}.[/tex]
Explicação passo a passo:
Veja que a equação
[tex] kx^2 - kx -k-1 = 0[/tex]
é da forma
[tex] ax^2+bx=c=0,[/tex]
onde
[tex] a = k, b=-k \ \ \text{e} \ \ c = -k-1.[/tex]
A solução geral para esta equação é
[tex]x_1 = \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ \ \text{e} \ \ x_2 = \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.[/tex]
Logo, a equação original na variável [tex]x[/tex] possui duas raízes reais e iguais se, e somente se,
[tex] b^2-4ac = 0.[/tex]
Substituindo os valores de [tex] a,b,c[/tex] em termos de [tex]k[/tex] na equação acima obtemos
[tex](-k)^2-4(k)(-k-1) = 0.[/tex]
Simplificando, temos
[tex]5k^2 +4k = 0 \implies k\left( k +\frac{4}{5} )\right = 0.[/tex]
As soluções da última equação na variável [tex]k[/tex] são
[tex] k=0 \ \ \text{e} \ \ k = -\frac{4}{5}.[/tex]
Note que a solução
[tex]k=0[/tex]
não é admissível, caso contrário, a equação original
[tex]kx^2-kx-k-1=0[/tex]
seria trivial (ou seja, seria [tex]0=0[/tex]).
Logo, [tex] k=-\frac{4}{5}.[/tex]
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