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Considere a circunferência de equação cartesiana


(y): x^2 + y^2 = 4


As equações cartesianas para as retas que passam pelo ponto (4,0) e são tangentes à
circunferência (y), são:


(A) y = −1/√3(x − 4) e y=1/√3(x−4)


(B) y= −1/√2(x − 1) e y =1/√2(x−1)


(C) y = −1/√5(x − 5) e y =1/√5(x−5)


(D) y = − x+ 4 e y = x− 4


(E) y = − x e y = x


POR FAVOR :)

Sagot :

Zecol

Resposta:

(A)

Explicação passo a passo:

Sendo [tex]y=ax+b[/tex] a equação das retas, como elas passam por [tex](4,0)[/tex], temos que [tex]4a+b=0\iff b=-4a[/tex]. Como as retas são tangentes à circunferência, a distância delas ao centro da circunferência deve ser igual ao raio. Pela equação [tex]x^2+y^2=4[/tex] tiramos que seu centro é [tex]C(0,0)[/tex] e raio é [tex]r=2[/tex].

Para uma reta de equação [tex]ax+by+c=0[/tex], a distância dela ao ponto [tex]P(x_0,y_0)[/tex] é [tex]|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}[/tex]. Temos que [tex]y=ax+b\iff ax-y+b=0[/tex] é a equação equivalente para aplicar na fórmula. Aplicando a fórmula da distância do ponto à reta:

[tex]\frac{|a\cdot0 -1\cdot0+b|}{\sqrt{a^2+1}}=2[/tex]

[tex]|b|=2\sqrt{a^2+1}[/tex]

[tex]b^2=4(a^2+1)=4a^2+4[/tex]

Sendo [tex]b=-4a[/tex]:

[tex](-4a)^2=4a^2+4[/tex]

[tex]16a^2=4a^2+4[/tex]

[tex]12a^2=4[/tex]

[tex]a^2=\frac{1}{3}\iff a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

Daí tiramos que [tex]b=\mp 4/\sqrt{3}[/tex], logo:

[tex]y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}x\mp\frac{4}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(x-4)[/tex]

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