Considere que [tex]\alpha'[/tex] é o complemento de [tex]\alpha[/tex], ou seja, o ângulo para o qual [tex]\alpha+\alpha'=90^\circ[/tex] (vide imagem em anexo). Pela relação do triângulo retângulo temos que:
[tex]\tan\alpha'=\frac{27}{9\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\tan\alpha'=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\tan\alpha'=\tan60^\circ[/tex]
Daí tiramos que [tex]\alpha'=60^\circ[/tex] logo [tex]\alpha=90^\circ-60^\circ=30^\circ[/tex]. Considere agora o triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado oposto a [tex]\alpha[/tex] e os catetos medem [tex]9\sqrt{3}[/tex] e [tex]36-27=9[/tex] (vide imagem em anexo). Temos que:
[tex]\tan\gamma=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\tan\gamma=\tan60^\circ[/tex]
Concluindo assim que [tex]\gamma=60^\circ[/tex]. Por fim, temos que:
[tex]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/tex]
[tex]\beta+90^\circ=180^\circ\iff \beta=90^\circ[/tex]
