- Calculando o limite, temos
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \end{gathered}$}[/tex]
Desejamos calcular o seguinte limite
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que ao substituir o valor no qual x tende sua função fica indeterminada, devemos manipular a função de forma que ao substituir o x tende não dê um valor indeterminado.
Primeiramente irei aplicar a seguinte propriedade
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to \alpha } (k)=k\ ,\ k\in \mathbb{R} \end{gathered}$}[/tex]
Essa propriedade diz que o limite de uma constante é igual a própria constante. Aplicando isso na sua questão, temos que
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{x} \end{gathered}$}[/tex]
Feito isso, vamos agora retirar aquela raiz do numerador, para isso devemos multiplicar toda aquela função por seu conjugado.
Fazemos isso para cair com a seguinte propriedade ( [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} =a\end{gathered}$}[/tex] ). Sabendo disso, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{x}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} }{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}\right) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered}$}[/tex]
Olha que top, temos aquela mesma propriedade que eu disse na resposta anterior ( a - b )( a + b ) = a²-b².
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{1-x})^2 }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)-(1-x) }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x+\!\diagup\!\!\!\!1-\!\diagup\!\!\!\!1+x }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2\!\diagup\!\!\!\!x }{\!\diagup\!\!\!\!x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2 }{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} }\right)\end{gathered}$}[/tex]
Pronto, retiramos a indeterminação, agora é só substituir o valor no qual x tende, ficando por fim
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0} }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{\sqrt{1}+\sqrt{1} }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{1+1 }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{2 }\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}= \frac{1}{3} \cdot \left( 1\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\ \therefore \ \boxed{\frac{1}{3} }\end{gathered}$}[/tex]
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