A derivada da função [tex]\Large\text{$\mathrm{e}^{\ln x}$}[/tex] é igual a 1.
_____
Deseja-se calcular a seguinte derivada
[tex]\Large\text{$\dfrac{d}{dx}\left[\mathrm{e}^{\ln x}\right]$.}[/tex]
Para tanto, será usada a seguinte propriedade dos logaritmos sendo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números reais tais que [tex]0<b\neq 1[/tex] e [tex]a>0.[/tex]
[tex]\Large\boxed{b^{\log_b a}=a.}[/tex]
Desse modo, lembrando que [tex]\ln x=\log_e x,[/tex] tem-se:
[tex]\Large\text{$\mathrm{e}^{\ln x} =\mathrm{e}^{\log_\mathrm{e} x}=x$.}[/tex]
Devido a isso e ao fato de a derivada da função identidade ser igual a 1, vem que:
[tex]\Large\begin{aligned}\dfrac{d}{dx}\left[\rm{e}^{\ln x}\right]&=x\\\\&=1.\end{aligned}[/tex]
Portanto, a derivada que desejávamos encontrar é:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\frac{d}{dx}\left[\rm{e}^{\ln x}\right]=1.}}[/tex]
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