Resposta:
Na nave há um total de 9 marcianos, sendo 6 com 7 antenas e 3 com 9 antenas.
Explicação passo a passo:
Para responder a esta questão podemos utilizar o conceito de Equação Diofantina do tipo ax + by = c, sabendo que a equação possui soluções inteiras se, e somente se, mdc(a,b) divide c.
Sejam x marcianos com 7 antenas e y marcianos com 9 antenas desse modo podemos montar a seguinte equação:
7x + 9y = 69
Como mdc(7,9) = 1 e 1 | 69 a equação possui soluções inteiras.
A solução geral de uma equação diofantina é dada por:
[tex]\begin{cases}x=x_0+bt\\y=y_0-at\end{cases}[/tex]
onde [tex](x_0,y_0)[/tex] é uma solução particular.
Do mdc podemos escrever:
7.4 + (-3).9 = 1 multiplicando por 69
7.276 + (-207).9 = 69, o par (276,-207) é uma solução particular.
[tex]\begin{cases}x=276+9t\\y=-207-7t\end{cases}[/tex]
Como queremos soluções naturais
276 + 9t > 0 e - 207 - 7t > 0
t > - 30,6... e t < - 29,5
ou seja, t = - 30
x = 276 - 270 = 6
y = - 207 + 210 = 3
Sabemos agora que existem 6 marcianos com 7 antenas e 3 marcianos com 9 antenas.
