leilinhaa044
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Resolva, no intervalo [0,2π] a equação tg²x + sec²x = 3​

Sagot :

Zecol

Sendo [tex]\tan x=\sin x/\cos x[/tex] e [tex]\sec x=1/\cos x[/tex]:

[tex]\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{1}{\cos^2x}=3[/tex]

[tex]\frac{1+\sin^2x}{\cos^2x}=3[/tex]

[tex]1+\sin^2x=3\cos^2x[/tex] (I)

Sabe-se que [tex]\sin^2x+\cos^2x=1\iff \sin^2x=1-\cos^2x[/tex]. Substituindo em (I):

[tex]3\cos^2x=1+1-\cos^2x[/tex]

[tex]4\cos^2x=2[/tex]

[tex]\cos^2x=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\cos x=\cos\frac{\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{3\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{5\pi}{4}\;\;\text{ou}\;\cos x=\cos\frac{7\pi}{4}[/tex]

Concluindo assim que as soluções da equação no intervalo [0,2π] são [tex]x=\pi/4[/tex], [tex]x=3\pi/4[/tex], [tex]x=5\pi/4[/tex] e [tex]x=7\pi/4[/tex].

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