Resposta:
[tex]k=3[/tex]
Explicação passo a passo:
Vamos chamar a reta que passa por [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] de [tex]\mu[/tex]. Considerando uma reta qualquer [tex]\nu[/tex] contida no plano [tex]\pi[/tex], [tex]\mu[/tex] e [tex]\nu[/tex] devem ser paralelas. Para determinar se duas retas são paralelas devemos inicialmente calcular seus vetores diretores.
Temos que [tex]\vec{AB}=(k-1,2,2)[/tex] é o vetor diretor de [tex]\mu[/tex]. No caso de [tex]\nu[/tex], devemos obter dois pontos contidos nela. Nesse caso, basta pegarmos dois pontos quaisquer de [tex]\pi[/tex].
Para [tex]h=t=0[/tex], temos o ponto [tex]U(1,1,3)[/tex]. Para [tex]h=t=1[/tex], temos o ponto [tex]V(4,4,6)[/tex]. Daí tiramos que o vetor diretor de [tex]\nu[/tex] é [tex]\vec{UV}=(3,3,3)[/tex].
Para as retas serem paralelas, deve existir um [tex]\lambda[/tex] para o qual:
[tex]\vec{AB}=\lambda\vec{UV}[/tex]
[tex](k-1,2,2)=\lambda(3,3,3)\iff \lambda=\frac{k-1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
Daí tiramos que:
[tex]\frac{k-1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]k-1=2[/tex]
[tex]k=3[/tex]
