Resposta:
As soluções são:
a) As coordenadas do ponto de interseção entre as retas é P(40/9, 35/9).
b) O gráfico representado na figura possui função quadrática definida por g(x) = x² - 7x.
c) O limite da função dada quando x tende a 1 vale 3.
Explicação passo a passo:
a) Para determinar as coordenadas do ponto P de interseção entre as retas r e s é necessário determinar as funções polinomiais de 1º grau que estas representam.
- Reta r passa pelos pontos (0,3) e (10,5) e é do tipo f(x) = ax + b.
[tex]a_r=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\\\=\dfrac{5-3}{10-0}\\\\=\dfrac{1}{5}[/tex]
E como a reta r corta o eixo Oy no ponto (0,3) temos que b = 3.
r: y = x/5 + 3
- Reta s passa pelos pontos (10,0) e (0,7) como essas são as coordenadas dos pontos onde o gráfico corta os eixos Ox e Oy podemos utilizar a equação segmentaria da reta.
[tex]\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{7}=1\\\\s: y = 7-\dfrac{7}{10}x[/tex]
Igualando as duas funções temos:
x/5 + 3 = 7 - 7x/10 multiplicando por 10
2x + 30 = 70 - 7x
9x = 40
x = 40/9
y = 40/9/5 +3
y = 40/45 + 3
y = 8/9 + 3
y = 35/9
P(40/9, 35/9)
b) A parábola representada no gráfico possui os seguintes pontos (0,0), (7,0), (7/2, -49/4). Temos que y = ax² + bx + c como o gráfico passa pela origem c = 0.
Substituindo a outra raiz e as coordenadas do vértice obtemos o seguinte sistema de equações:
49a + 7b = 0
49a + 14 b = - 49
Subtraindo
7b = - 49
b = -7 e a = 1
y = x² - 7x
c) Substituindo x = 1 vamos obter uma indeterminação matemática 0/0.
[tex]$ \lim_{x \to 1} \dfrac{2x^3-5x^2+10x-7}{x^2-1}=\dfrac{0}{0}\\[/tex]
Mas como x = 1 é raiz de 2x³ - 5x² +10x - 7 podemos fatorar usando Briot-Ruffini
2 -5 10 -7
1 2 -3 7 0
Podemos reescrever o limite da seguinte forma:
[tex]$ \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(2x^2-3x+7)}{(x-1)(x+1)}=\\\\ \lim_{x \to 1} \dfrac{2x^2-3x+7}{x+1} =\dfrac{6}{2}=3[/tex]
