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DEterminar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados

a) f(x)=x²-1; x=1 e x=0

b)f(x)=x(3x-5); x=1/2

 

Sagot :

 

A equação da reta tangente é dada pela primeira derivada da função.

Assim,  as equações das retas nos casos do presente exercício são:

 

 

a) f'´(x)= 2x

 

 

f´(1) = 2

f`(0) = 0 

 

 

b) f´(x)=3x-5

f´(1/2)=-7/2

 

 

 

 

 

 

 

Resposta:

Letra(a):

No Ponto x=1  => f(x)=2x - 2

No Ponto x=0  => f(x)= -1  é uma constante paralela ao eixo dos "x" com inclinação "0".

Letra (b):

f(x) = -2x + 0,75

Explicação passo a passo:

Solução

Letra(a):  f(x) = x^2 -1    No Ponto x=1

Formula da reta tangente: f(x) - f(a) = f'(a) (x - a) (1), onde f'(a) é a inclinação da reta no ponto, que determinaremos usando a derivada primeira.

f(1) = 1^2 - 1 = 0

f'(x) = 2x  => f'(1) = 2(1) = 2, substituindo na equação (1) temos:

f(x) - f(1) = f'(1)(x - 1) => f(x) - 0 = 2(x - 1) => f(x)=2x - 2, esta é a equação da reta que tangencia a parábola x^2 -1  no ponto x=1.

No Ponto x=0

f(1) = 0^2 - 1 = -1

f'(x) = 2x  => f'(0) = 2(0) = 0, substituindo na equação (1) temos:

f(x) - f(1) = f'(1)(x - 1) => f(x) - (-1) = 0(x - 0) => f(x)= -1,

Então no ponto x=0 temos uma reta com inclinação "0" (constante) que passa em f(x)= -1

Letra (b) f(x)=x(3x-5);  x=1/2

f(1/2)= 1/2(3(1/2)-5)= -1,75

f'(x)=[x(3x-5)]', usando a regra do produto de derivadas => (u.v)' = u'v+uv'

u=x => u'=1

v=3x-5 => v'=3, então f'(x) = (1)(3x-5) + x (3) = 3x-5+3x => f'(x)= 6x-5

f'(1/2)= 6(1/2) -5 = 3 - 5 = -2

substituindo na equação (1) temos:

f(x) - f(1/2) = f'(1/2)(x - 1/2) => f(x) - (-1,75) = -2(x - 1/2) => f(x) + 1,75= -2x + 1

=> f(x) = -2x + 1 - 1,75 => f(x) = -2x + 0,75  esta é a equação da reta que tangencia a função x(3x-5)  no ponto 1/2.