- Temos que a derivada direcional que a sua questão pediu é igual a
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial u}(3,2)= 20 \end{gathered}$}[/tex]
A derivada direcional é dada por
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial u}(p)=\vec{\nabla} f(p) \cdot unit\acute{a}rio \end{gathered}$}[/tex]
Vamos então calcular o vetor gradiente no ponto p(3,2), sabendo que o mesmo é dado por
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(p)=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \ ,\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Resolvendo as derivadas parciais, temos
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases} \frac{\partial (6x^2-2y)}{\partial x} = 12x\\ \\ \frac{\partial (6x^2-2y)}{\partial y}=-2\end{cases}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo agora no ponto p(3,2)
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3,2)=\left( 12(3) \ ,\ -2\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3,2)=\left( 36 \ ,\ -2\right)\end{gathered}$}[/tex]
Agora devemos calcular o unitário, cuja a norma do mesmo tem que ser igual a um. Lembrando que [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3\vec{i} +4\vec{j}\end{gathered}$}[/tex] é a mesma coisa que [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (3 \ ,\ 4)\end{gathered}$}[/tex]. Calculamos então a norma do mesmo, se não der igual a um, devemos dividir tudo pelo resultado. logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u=(3\ ,\ 4)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} |u|=\sqrt{3^2+4^2} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} |u|=\sqrt{9+16} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} |u|=\sqrt{25} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore |u|=5\neq 1\end{gathered}$}[/tex]
Como deu um valor diferente de um, valor então dividir esse resultado em tudo.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u=(3\ ,\ 4)\rightarrow \hat{u}=\frac{(3\ ,\ 4)}{5} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u=(3\ ,\ 4)\rightarrow \hat{u}=\left(\frac{3}{5}\ ,\ \frac{4}{5}\right)\checkmark \end{gathered}$}[/tex]
Agora já temos o unitário e o gradiente, logo, a derivada direcional será dada por
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial u}(p)=\vec{\nabla} f(p) \cdot unit\acute{a}rio \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial u}(3,2)=(36\ ,\ -2) \cdot \left(\frac{3}{5}\ ,\ \frac{4}{5} \right) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial u}(3,2)= \left(\frac{108}{5}-\frac{8}{5} \right) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore \boxed{\frac{\partial f}{\partial u}(3,2)= 20 } \end{gathered}$}[/tex]
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