Rayramirez
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Calcule o vetor gradiente ∇f(3,2) sendo f(x,y) = 3x³-5x²
Ajuda!!

Sagot :

Skoy

O vetor gradiente sendo f(x,y) = 3x³-5x² no ponto (3,2) é igual a

                          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{\nabla}f(3,2)=\left( 51 \ ,\ 0\right) \end{gathered}$}[/tex]

O vetor gradiente é dado da seguinte forma

                [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(p)=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \ ,\ \frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{gathered}$}[/tex]

Então, basta calcularmos essas derivadas parciais e substituir no ponto dado pela questão. ( Aí é só correr pro abs! :) ).

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases} \frac{\partial (3x^3-5x^2)}{\partial x} = 9x^2-10x\\ \\ \frac{\partial (3x^3-5x^2)}{\partial y}=0\end{cases}\end{gathered}$}[/tex]

Perceba ainda que como não temos o termo y, só substituiremos no ponto x.

        [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 9x^2-10x \ ,\ 0\right) \end{gathered}$}[/tex]

     [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 9(3)^2-10(3) \ ,\ 0\right) \end{gathered}$}[/tex]

        [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \boxed{ \vec{\nabla}f(3,2)=\left( 51 \ ,\ 0\right) }\end{gathered}$}[/tex]

Veja mais sobre:

  • brainly.com.br/tarefa/39415285
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solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(3, 2) = (51,\, 0)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

Sejam os dados:

                    [tex]\Large\begin{cases} f(x, y) = 3x^{3} - 5x^{2}\\\vec{\nabla} f(3,\,2) \Longrightarrow P(3, 2)\end{cases}[/tex]

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

Então, temos:

  • Calculando o vetor gradiente da função:

          [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$}[/tex]

                               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

                               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (3\cdot3\cdot x^{3 - 1} - 2\cdot5\cdot x^{2 - 1})\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

                               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (9x^{2}\, - 10x)\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

  • Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

              [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, 2) = (9\cdot3^{2} - 10\cdot3)\,\vec{i} + \,0\,\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

                                  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 51\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]

                                  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (51,\, 0)\end{gathered}$}[/tex]

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, 2) = (51,\,0)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]

Saiba mais:

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