Resposta:
o menor ângulo e o da figura D
e o maior ângulo o da figura C
Neste exercício, utilizaremos regras de três simples.
No relógio analógico como os exemplos vistos na figura, o ponteiro maior (minutos) dá uma volta completa (360°) em 60 minutos (1 hora), já o ponteiro menor das horas dá uma volta completa em 720 minutos (12 horas).
Antes de prosseguirmos, para que não haja confusão com o circulo trigonométrico, é importante lembrar que estaremos medindo os ângulos a seguir tendo como ponto de partida (0°) o número 0 no relógio.
Dito isso, o ângulo formado pelo ponteiro dos minutos poderá ser determinado pela seguinte regra de três:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf ^{\,Minutos}_{indicados}&\sf -----&\sf x\end{array}[/tex]
Já para o ponteiro da horas será necessário um atenção especial. Note que este ponteiro indica não só as horas, mas também os minutos, uma que vez que não fica fica parado sobre as marcações do relógio, seu movimento é contínuo.
Sendo assim, como precisaremos considerar horas e minutos para este ponteiro, vamos transformar as horas em minutos e somá-las aos minutos que são indicados no relógio.
ex.: 3:45 --> 3 x 60min + 45 min = 180 + 45 = 225 min
Com isso, o ângulo desse ponteiro poderá ser calculado por:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf ^{\,Hor\acute{a}rio}_{em~min}&\sf -----&\sf x\end{array}[/tex]
Dada essa breve explicação, vamos nos ater agora ao ângulo formado entre os ponteiros. O menor ângulo é calculado pelo módulo da diferença entre os ângulos de cada ponteiro, já o maior ângulo é dado pelo replemento do menor ângulo entre os ponteiros.
[tex]\boxed{\sf Menor~angulo~=~\Big |Angulo_{ponteiro\,min}~-~Angulo_{ponteiro\,horas}\Big |}\\\\\\\boxed{\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~Menor~angulo}[/tex]
Vamos então resolver os dois primeiros exercícios passo-a-passo:
a)
Ângulo do ponteiro dos minutos:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 0&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\sf 60\cdot x~=~0\cdot 360\\\\60x~=~0\\\\\boxed{\sf x~=~0^\circ}[/tex]
Ângulo do ponteiro das horas:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 3\cdot 60+0&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\sf 720\cdot x~=~(3\cdot 60+0)\cdot 360\\\\\\720x~=~(180)\cdot 360\\\\\\x~=~\dfrac{180\cdot 360}{720}\\\\\\x~=~\dfrac{180\cdot 1}{2}\\\\\\\boxed{\sf x~=~90^\circ}[/tex]
[tex]\sf Menor~angulo~=~|0^\circ~-~90^\circ|~=~|-~90^\circ |~=~\boxed{\sf 90^\circ}\\\\\\\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~90^\circ~=~\boxed{\sf 270^\circ}[/tex]
b)
Ângulo do ponteiro dos minutos:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 30&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\sf 60\cdot x~=~30\cdot 360\\\\\\x~=~\dfrac{30\cdot 360}{60}\\\\\\x~=~\dfrac{30\cdot 6}{1}\\\\\\\boxed{\sf x~=~180^\circ}[/tex]
Ângulo do ponteiro das horas:
[tex]\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 8\cdot 60+30&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\sf 720\cdot x~=~(8\cdot 60+30)\cdot 360\\\\\\720x~=~(480+30)\cdot 360\\\\\\x~=~\dfrac{510\cdot 360}{720}\\\\\\x~=~\dfrac{510\cdot 1}{2}\\\\\\\boxed{\sf x~=~255^\circ}[/tex]
[tex]\sf Menor~angulo~=~|180^\circ~-~255^\circ|~=~|-~75^\circ |~=~\boxed{\sf 75^\circ}\\\\\\\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~75^\circ~=~\boxed{\sf 285^\circ}[/tex]
Por falta de espaço, os outros exercícios não serão resolvidos por completo, irei "montá-los" e apresentar seus gabaritos. Caso surja alguma dúvida, basta deixar um comentário.
c)
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 45&\sf -----&\sf x\end{array}~~~~~~\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 3\cdot 60+45&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\\\sf Menor~angulo~=~|270^\circ~-~112,5^\circ^\circ|~=~|157,5^\circ |~=~\boxed{\sf 157,5^\circ}\\\\\\\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~157,5^\circ~=~\boxed{\sf 202,5^\circ}[/tex]
d)
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 40&\sf -----&\sf x\end{array}~~~~~~\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 5\cdot 60+40&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\\\sf Menor~angulo~=~|240^\circ~-~170^\circ^\circ|~=~|70^\circ |~=~\boxed{\sf 70^\circ}\\\\\\\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~70^\circ~=~\boxed{\sf 290^\circ}[/tex]
e)
[tex]\begin{array}{ccc}\sf Minutos&&\sf Graus\\\sf 60&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 35&\sf -----&\sf x\end{array}~~~~~~\begin{array}{ccc}\sf hor\acute{a}rio~(min)&&\sf Graus\\\sf 720&\sf -----&\sf 360^\circ\\\sf 9\cdot 60+35&\sf -----&\sf x\end{array}\\\\\\\\\sf Menor~angulo~=~|210^\circ~-~287,5^\circ^\circ|~=~|-77,5^\circ |~=~\boxed{\sf 77,5^\circ}\\\\\\\sf Maior~angulo~=~360^\circ~-~77,5^\circ~=~\boxed{\sf 282,5^\circ}[/tex]
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
