Resposta:
Explicação passo a passo:
[tex]\Delta>0\:\:(duas\:raizes\:reais\:distintas)[/tex]
[tex]\Delta=0\:\:(duas\:raizes\:reais\:iguais)[/tex]
[tex]\Delta<0\:\:(nenhuma\:raize\:real)[/tex]
[tex]ax^{2} +x+1=0[/tex]
[tex]a=a[/tex]
[tex]b=1[/tex]
[tex]c=1[/tex]
[tex]\Delta=b^{2} -4\:.\:a\:.\:c[/tex]
[tex]\Delta=1^{2} -4\:.\:a\:.\:1[/tex]
[tex]\Delta=1-4a[/tex]
[tex]Exigencia=>\Delta>0[/tex]
[tex]1-4a>0[/tex]
[tex]-4a>-1[/tex]
[tex]4a<1[/tex]
[tex]a<\frac{1}{4}[/tex]
[tex]Resposta:\:a<\frac{1}{4}[/tex]
Para que essa equação admita duas raízes reais distintas, devemos ter a < 1/4.
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lllaraf, para que uma equação quadrática assuma raízes x₁ e x₂ reais e distintas, seu discriminante, denominado também de delta — sendo igual a b² – 4ac —, deve ser positivo. Em suma, sabemos que
[tex]\displaystyle\Large\text{$\begin{gathered}\Delta\sf > 0~\implies~x_1\land x_2\in\mathbb{R}~\big|~x_1\neq x_2;\\\\\Delta\sf=0~\implies~x_1\land x_2\in\mathbb{R}~\big|~x_1=x_2;\\\\\Delta\sf < 0~\implies~x_1\land x_2\notin\mathbb{R}.\end{gathered}$}[/tex]
Sendo assim, nossa equação deve ter [tex]\Delta[/tex] > 0.
[tex]\displaystyle\Large\text{$\sf ax^2+x+1=0$}[/tex]
Note que o valor de seus coeficientes são a = a, b = 1 e c = 1. Logo,
[tex]\displaystyle\Large\text{$\begin{gathered}\sf b^2-4ac > 0\\\\\sf1^2-4\cdot a\cdot1 > 0\\\\\sf1-4\cdot a > 0\\\\\sf\,-\,4\cdot a > -\,1.\end{gathered}$}[/tex]
Tome o simétrico da inequação a fim de opor todos os sinais:
[tex]\displaystyle\Large\text{$\begin{gathered}\sf 4\cdot a < 1\\\\~\boxed{\sf a < \dfrac{1}{4}}\,.\end{gathered}$}[/tex]
PORTANTO, “a” precisa ser um número real menor que 1/4 para que a equação dada admita duas raízes reais e distintas.
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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.
