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Sagot :
Resposta:
[tex]a = \frac{1}{2} .[/tex]
Explicação passo a passo:
Vamos analisar a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, a + 1). Lembrando que a equação reduzida da reta é [tex]y = mx + n[/tex], veja que [tex]1 = 0.m + n = n[/tex], porque a reta passa pelo ponto [tex](0,1)[/tex]. Além disso, [tex](a + 1) = 1.m + n = m + 1[/tex], porque a reta passa pelo ponto (1, a + 1).
Assim, m = a + 1 - 1 = a. Este é o valor do coeficiente angular da segunda reta. Para ela ser paralela à primeira reta, os coeficientes das duas retas devem ser os mesmos. Então, a primeira reta será da forma [tex]y = mx + n_1 = ax + n_1[/tex]
Agora, vamos analisar a primeira reta: ela passa pelo ponto (3,2), então [tex]2 = 3a + n_1[/tex], ou [tex]n_1 = 2 - 3a[/tex]. Além disso, a reta passa pelo ponto (1, 2a), logo, [tex]2a = a + n_1[/tex], portanto, [tex]n_1 = 2a - a = a[/tex]. Substituindo [tex]n_1 = a[/tex] em [tex]n_1 = 2 - 3a[/tex], obtemos: [tex]a = 2 - 3a[/tex], então [tex]4a = 2[/tex], e finalmente, [tex]a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}[/tex].
✅ Após ter feito todos os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "a" que torna as retas "r" e "s" paralelas entre si é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a = \frac{1}{2} \:\:\:}} \end{gathered}$}[/tex]
Dizemos que duas retas são paralelas quando elas possuem a mesma direção. Para isso, faz-se necessário que ambas possuam mesmo coeficiente angular.
O coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo que a referida reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo.
Então:
Sendo os pontos da reta "r":
[tex]\Large\begin{cases}A(1, 2a)\\B(3, 2) \end{cases}[/tex]
Sendo os pontos da reta "s":
[tex]\Large\begin{cases}C(0, 1)\\D(1, a + 1) \end{cases}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r\parallel s\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:m_{r} = m_{s} \end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m_{r} = m_{s} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}tg\:\alpha = tg\:\beta \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha} = \frac{sen\:\beta}{cos\:\beta} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{Y_{B} - Y_{A} }{X_{B} - X_{A} } = \frac{Y_{D} - Y_{C} }{X_{D} - X_{C} } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{2 - 2a}{3 - 1} = \frac{a + 1 - 1}{1 - 0} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{2 - 2a}{2} = \frac{a}{1} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}2 - 2a = 2a \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}-2a - 2a = -2 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}-4a = -2 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}4a = 2 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a = \frac{2}{4} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a = \frac{1}{2} \end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, para que ambas as retas sejam paralelas o valor de "a" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a = \frac{1}{2} \end{gathered}$}[/tex]
Neste caso, para que as retas sejam paralelas os pontos notáveis da reta "r" são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A(1, 1)\\B(3, 2) \end{gathered}$}[/tex]
E os pontos notáveis da reta "s" são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}C(0, 1)\\D(1, \frac{3}{2} ) \end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais sobre retas:
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Veja também os gráficos das retas:
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