✅ Teorema Euler:
Em um poliedro convexo onde "F" é o número de faces, "V" o número de vértices e "A" o número de arestas, vale a relação:
1ª [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V - A + F = 2\end{gathered}$}[/tex]
Se um poliedro convexo com 8 faces triangulares e 4 faces quadradas, para encontrar o número de vértices, fazemos:
2ª [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}V = A - F + 2 \end{gathered}$}[/tex]
Para as faces triangulares temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}F_{T} = 8 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A_{T} = 8.3 = 24 \end{gathered}$}[/tex]
Para as faces quadradas temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} F_{Q} = 4\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A_{Q} = 4.4 = 16 \end{gathered}$}[/tex]
Então o número de faces "F" será:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}F = F_{T} + F_{Q} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 8 + 4 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 12 \end{gathered}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}F = 12 \end{gathered}$}[/tex]
Como em todo poliedro cada aresta é o encontro de duas faces, então o total de arestas será a metade da soma das arestas do triângulo com as arestas do quadrado, ou seja:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A = \frac{A_{T} + A_{Q} }{2} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{24 + 16}{2} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{40}{2} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 20 \end{gathered}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A = 20 \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "F" e "A" na 2ª equação, temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}V = 20 - 12 + 2 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 10 \end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o número de vértice do poliedro é:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}V = 10 \end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
