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Marcos fez cinco provas de matemática. Suas notas, em ordem crescentes, foram 75, 89, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na ultima prova? OBMEP 2013

Sagot :

Sejam [tex]\text{n}_1[/tex] e [tex]\text{n}_2[/tex] as duas primeiras notas de Marcos.

 

Observe que, os valores das notas devem ser ambos pares, ou ambos ímpares. 

 

Desse modo, uma possibilidade é [tex](\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)[/tex], cuja soma é [tex]75+95=170[/tex].

 

Entretanto, se [tex]\text{n}_3[/tex] é a terceira nota, temos que [tex]\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3}[/tex] é inteiro. Porém, se [tex](\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)[/tex], não há possibilidades.

 

Desta maneira, excluímos a possibilidade [tex](\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)[/tex].

 

Como [tex]80[/tex] e [tex]86[/tex] são ambos pares, uma possibildade é [tex](\text{n}_1, \text{n}_2)=(80, 86)[/tex].

 

Depois diss, verificamos que [tex]\text{n}_3=95[/tex], de modo que, [tex]\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3}[/tex] seja inteiro.

 

Desse modo, há duas possibilidades para a quarta nota: [tex]84[/tex] ou [tex]75[/tex].

 

Se [tex]\text{n}_4=84[/tex], temos que [tex]\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}+\text{n}_4}{4}[/tex] não e inteiro.

 

Logo, podemos afirmar que, as notas de Marcos foram [tex]80, 86, 95, 75, 84[/tex], nessa ordem e,

 

Portanto, a nota de Marcos na última prova foi [tex]84[/tex].

Marcos tirou na última nota 84 pontos.

 * Sua questão possui um erro, o valor 89 deveria ser 80 para obtermos o resultado*

       Notas em ordem crescente: 75, 80, 84, 86 e 95

 Para calcular a média entre valores usa-se a operação de divisão, basta somar todos os valores do conjunto e dividir pelo número total de termos. Observe :

           n1+n2+n3...nn

Me=   ____________

 

                    n

 Sabendo que as médias sempre darão números inteiros, conclui-se que os valores das notas devem ser ambos pares ou ambos ímpares, tomemos a possibilidade de :

n1= 80

n2= 86

  • Dessa forma:

[tex]Me= \frac{80+86}{2}[/tex]

[tex]Me=\frac{166}{2}[/tex]

[tex]Me= 83[/tex], logo um número inteiro.

 Para que a média entre as três primeiras notas assuma valor inteiro, tomemos o seguinte n3:

n3= 95

[tex]Me= \frac{80+86+95}{3}[/tex]

[tex]Me= \frac{261}{3}[/tex]

[tex]Me= 87[/tex]

Para que a média entre as quatro primeiras notas assuma valor inteiro, tomemos o seguinte n4:

n4= 75

[tex]Me= \frac{80+86+95+75}{4}[/tex]

[tex]Me= \frac{336}{4}[/tex]

[tex]Me= 84[/tex]

 Portanto, a ultima nota que o Marcos tirou foi 84.

 A sequencia das notas é: 80, 86, 95,75 e 84.

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Média : https://brainly.com.br/tarefa/38282019

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