rareirin
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Como fatorar: [tex]x^8-8x^4+16[/tex] ?

Sagot :

Celio

Rareirin,

 

Este polinômio é um produto notável do tipo "Quadrado da Soma".

 

Portanto:

 

[tex]x^8-8x^4+16 = (x^4-4)^2[/tex]

 

Ficamos, agora, com outro produto notável, do tipo "Diferença de Quadrados".

 

Portanto:

 

[tex](x^4-4)^2=[(x^2+2)(x^2-2)]^2=(x^2+2)^2(x^2-2)^2=\\\\ =[(x+\sqrt2i)(x-\sqrt2i)]^2[(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)]^2=\\\\ =\boxed{(x+\sqrt2i)^2(x-\sqrt2i)^2(x+\sqrt2)^2(x-\sqrt2)^2}[/tex]

 

Se igualarmos esta expressão a zero, obtemos facilmente, a partir desta fatoração, as oito raízes do polinômio inicial, sendo duas raízes reais de multiplicidade 2 e duas raízes complexas também de multiplicidade 2.

 

 

 

 

 

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